上一节说过，会单独写一节关于前面所有随机知识的梳理和总结。
这一节不可能会特别短，但很可能会有点长，因为以前的程序都写完了，这一节几乎没有新程序，而全部都是原理的详细分析（超级详细！详细到我觉得高中生都能看懂。）那好，就让我们做好心理准备，开始深入MC的世界。
目录：
一、MC与积分
二、球面积分再议
三、光散射公式
四、产生随机方向
五、结论：
一、MC与积分
首先还是我们要进行的积分：
结果就是下图中蓝色区域的面积：
其实也很好使用MC方法，产生一堆横坐标0-2，纵坐标0-4之间的随机数，然后判断其在蓝色区域还是黄色区域，然后根据比值计算出蓝色区域的值。但是这样有没有什么问题？肯定有：（这个问题我之前也阐述了好几段，现在再重新阐述一下）
如果是完全随机产生的均匀的随机数，那么从x轴上来说，产生在紫色部分的随机数，贡献率会比产生在粉色区域的贡献率大。这是为什么呢？
再把之前的话放上：这种求积分的方式，其实就是求整段线的均值，然后乘以横坐标长度，即这里为2。
比如，我要计算x^2从0到2的积分，我们真实地计算一下发现，从0到1积分起来的值只有1/3，而从1到2积分的值是7/3，所以说，从1-2的积分的值不就占比重更大吗？当我们要通过估计的方法来获得值的时候，假如我们随机产生200个数，其中100个在（0-1）之间，100个在（1-2）之间，假设通过100个数的估计偏差在2%左右，则从0-1积分的估计值与真实值的偏差是0.0067（即(1/3)*0.02），而从1-2积分值的估计值与真实值的偏差为 0.047（即(7/3)*0.02），两个偏差加起来的值是0.053左右。
如果我们进行一下分配，让随机数在1-2之间产生的更多，这样就会降低1-2之间积分的偏差。根据刚才的计算，我们知道1-2之间占积分值比重很大，所以这样就能很好的降低总的偏差。
还是这个图，如果我们能知道产生的每个随机点的权重，那么就可以很快地逼近了。
解释方法：上面的蓝色区域中，随便选其中一部分并计算面积，如果知道它的面积占总面积的比重，就能得到总的面积。
我们从图中可以看到，横坐标值越大，随机点出现在蓝色中的比例越大，这种比例关系是线性关系吗？不是。（我们只知道它呈现正相关，至于是不是线性正相关，废话，这是个曲线，肯定不是线性关系。如果学过微积分就知道其实是x的三次方的关系）。但是没有关系，在实际例子中我们一般都很难明确待求问题的pdf，但我们既然知道了呈正相关，就自己设计一个产生正相关随机数的产生器，然后再除以该随机数产生器的权重不就好了
因为概率密度函数积分为1.
得到C = 0.5。
于是，在这个随机数发生器的帮助下，我们得到了大量的随机数rs，这些随机数分布符合p(x)=0.5x，每个随机数 r 的值为 r^2。注意这里的p(x)是其占比，即重要性，若p(r)大的话，表示我们产生的随机数，在 r 这里的可能性更大。但是如果大量的数都产生在x更大的地方的话，会对最后的积分值有影响，所以需要除以其比重：r^2/p(r)，即 f(x)/p(x) , f(x) = x^2。所以要求出f(x)的平均值，就是计算出 (f(x1)/p(x1)+f(x2)/p(x2)+f(x3)/p(x3)+f(x4)/p(x4)+......+f(xN)/p(xN))/N 。
那么现在的问题是怎么产生pdf为p(x)=0.5x的随机数——但是以前的章节已经讲的已经很明白了，这里就跳过。
（p.s.说句题外话。概率论真的是一门有趣和神奇的学科，以前大学里学习过好几遍概率论与数理统计，但是现在每次再学习还是会有所收获。概率论薄弱的同学可以先学习一下MIT的概率论与数理统计课程，然后再学习一些关于随机过程方面的知识（例如孙应飞老师的随机过程），加深一下应用和理解。）
现在我们为了加深一下理解，来使用绝对均匀的随机数：p(x) =C
，C=0.5
所以我们的公式就变为了 (2*f(x1)+2*f(x2)+2*f(x3)+2*f(x4)+......+2*f(xN))/N （注意xN是产生在0-2上的随机数）
注意，这里的2和前面2*sum/N中的2看着一样，但其实不同，这里的2是每个随机数的pdf处理的
我们再来设计一个pdf: p(x)=Cx^2
, C=8/3
P(x) = 1/8x^3 反函数 y=(8x)^1/3
x*x / pdf(x) = (x*x) / (3/8x*x) = 8/3，所以一次就能得到正确的值。但当然一般情况下我们不知道被积函数自变量x的分布，所以这种完美解决的情况并不多见。
本节最难理解的一点是：
为什么 sum += x*x / pdf(x);
sum / N 的结果为蓝色区域的面积，而不是f(x)的平均值（即面积除以横坐标长度2）。
前面已经分析过多次，现在再添加一种理解方式：因为pdf积分从0到2后一定是1，所以我们以均匀随机数为例，一半产生在0-1之间，一半产生在1-2之间。如果要计算x^2从0到1之间的积分的话，pdf=1，而且 sum / N 的结果既是f(x)平均值，也是f(x)积分的面积。当积分区间增大一倍以后，因为pdf积分为1，所以pdf缩小一倍，变为了0.5，但仍然是随机均匀分布的。这个时候，sum/N 的结果就应该是面积了。
二、球面积分再议
计算积分：
其中 theta 是与Z轴的夹角。因为是一整个球面，而不是半球，所以产生的向量全都均匀随机分布在表面。
对一个单位球面进行积分，得到单位球面的面积4Pi，而因为这里的pdf是常数，所以对一个常数在单位球面积分，等于积分后乘该常数，所以随机向量在每个方向的权重都是球体的表面积的倒数，即1/(4*Pi)。
所以对cos^2(theta)积分就是
(cos^2(theta1)/(1/(4*Pi))+cos^2(theta2)/(1/(4*Pi))+cos^2(theta3)/(1/(4*Pi))+cos^2(theta4)/(1/(4*Pi))+
......+cos^2(thetaN)/(1/(4*Pi)))/N
注意对于产生的单位随机向量r，cos(theta_r) = (0,0,1)·(r.x(),r.y(),r.z())=r.z()
所以积分就变为了：
(r1.z()*r1.z()/(1/(4*Pi))+r2.z()*r2.z()/(1/(4*Pi))+r3.z()*r3.z()/(1/(4*Pi))+r4.z()*r4.z()/(1/(4*Pi))+
......+rN.z()*rN.z()/(1/(4*Pi)))/N我们要注意，这里的积分并不是简单地把从
0积分到Pi,而是：
即：
而不是
注意这里的2*Pi*sin(theta)的意义会在下面第四节来详细讲（其实抛去cos^2(theta)后的积分结果就是球的表面积）。
三、光散射公式
根据前面所述的理论，采用重要性抽样后：
前面我说的比较简略，这里我再重新强调一下，这里比前面的积分中多了一个s(direction)，这是散射方向direction的分布pdf，也就是说散射光在哪个方向分布的多以及哪个方向分布的少。我们对不同方向的s(direction)color(direction)积分，就得到的是全部方向上的信息，也就是全局光照（从各个方向都考虑到了）
第一种：散射pdf=采样pdf
s(direction)=p(direction)，即
，即散射的pdf等同于采样方向的pdf。
第二种：（常规情况）
散射pdf≠采样方向的pdf。注意这个散射方向的pdf是我们自己定义的，根据物理分析，lambertian材料的散射pdf分布就是我们之前用的这个 cos(theta)/Pi
为什么要设置不一样呢？有的人可能觉得，按照lambertian材料散射的pdf计算不是更方便吗？不是这样的。因为我们要知道，采样的时候，如果最终采样不到灯光，就是黑点，对最后的结果不做任何贡献，所以根据重要性采样原理，要尽可能超光源的方位散射，即s(direction)≠p(direction)。
第一种的结果：
第二种，设置散射光线pdf为1/(2*Pi)，即在半球上随机分布：
四、产生随机方向
我们产生的随机坐标(x,y,z)真的是在方向上随机吗？真的是在方向上密度均匀吗？是的。
但是现在，要求变了：我们想生成符合一定规律的向量，例如，在法线附近生成几率比较大，所以要通过一些方法来进行约束。
还记得我们这一节的程序吗？就是生成两个随机数，然后用这两个随机数生成向量。为什么两个就够了，很简单，因为我们要生成的向量是关于Z轴旋转对称的，所以只需要两个变量就够了。要生成朝向 (θ，phi) 的单位矢量方向，根据球面坐标公式：
x = cos(phi)*sin(theta)
y = sin(phi)*sin(theta)
z = cos(theta)所以要生成一个随机的theta和一个随机的phi，但是，如何根据限制theta和phi的pdf来约束生成的随机向量呢？（核心问题）
生成向量的pdf关于Z轴旋转对称的，所以phi的pdf: a(phi) = 1/(2Pi) (是uniform的)
图中紫色圆的紫色线段代表 sin(theta)，2*Pi*sin(theta)就是圆的周长，对其进行积分就是圆的表面积，所以：
b(theta) = 2*Pi*f(theta)sin(theta)
pdf的积分一定为1，积分即P（表示概率）。
所以生成两个[0-1]之间的随机数作为概率P，然后令：
根据 f(theta) 的不同，可以生成不同 pdf 的随机向量。
如果要在上半球积分：
，即：
使用均匀分布pdf p(directions)=1/(2*Pi)，所以我们的均值为
对应书本上的程序：
使用非均匀分布pdf p(directions) = cos(theta) / Pi，所以我们的均值为
对应书本上的程序：
五、结论：
终于写完这一节了，花了整整一天的时间，自认为这一节已经讲述的非常明白和确切了。结合前面的五节课程，奠定了一个很坚实的基础！MC估计积分值，就是将采样值除以该采样的概率，把多次采样值取平均，就会逼近真实的积分值。
