一、引言
Python里面有一个重要的求模运算符号“％”，作为一个小白，实验了好多次求模的运算，发现这个算法不同于一般的四则运算，其运算效率简直可以用神奇来形容。
例如以当今知道的最大质数——梅森素数为例，进行求模计算，速度快得惊人。当前知道的最大的梅森素数是第51个梅森素数，也是迄今为止知道的最大的素数。它的表示为：
2^82589933 – 1,
如果用十进制打开，这个数有24862048位，是2018年被证明为素数的。
在python中，如果直接计算这个数，一般的机器都是打不开的。如果做四则运算也是有可能死机的。但是神奇的是求模计算能够快速的出结果。
例如：
（2^82589933 – 1）%3=1
（2^82589933 – 1）%5=1
（2^82589933 – 1）%13=5
（2^82589933 – 1）%17=14
…
对于一个充满好奇心的小白来说，一定要探索一下其中的原理。于是先百度一下求模的基本知识，发现有如下的表述：
模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。
取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Remainder Operation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。
求整数商: c=[a/b]
计算模: r=a-c*b
基本知识中，大量讲解数学求余和计算机求模的区别，为简化和理解。本部分只讨论计算机领域的求模运算。
二、取模运算
1.定义：取模运算：运算结果得到的是一个数除以另一个数的余数，即采用公式r=a-c*b，但是c的取值在数轴上取左边的整数解（如果b为正数，计算机的求模计算）。
2.举例：给定两个正整数：被除数 a 和除数 n，a modulo n (缩写为(一般这样写) a mod n)得到的是a/n 的余数。
3.但是当有负数加入到取模运算，就变得比较复杂了。在python中，如果b为正整数，则所有的r都为正（除0外），因为求整数的c是在数轴的左侧取b的整数解，也就是说a一定 大于c*b。如果b为负整数，则所有的r都为负（除0外），因为求整数的c是在数轴的右侧取b的整数解。
三、取模运算的规则
1.恒等式：
① (a mod n) mod n = a mod n
② 对所有的正数 x 有：nx mod n = 0
③ 费马小定理：a^（p-1）≡1（mod p）， where p is a prime，并且a不是p的倍数
也可以表示为： a^p≡a（mod p） （a为任意正整数，上式中a不能使p的倍数）
用python的符号%表示为： a^p％p=a%p， a为任意正整数，p为质数。
- 取模与四则运算的关系（除法除外，除法不同）：
①加法：(a+b) mod c = [(a mod c) + (b mod c)] mod c
②减法：(a-b) mod c = [(a mod c) - (b mod c)] mod c
③乘法：ab mod c = [(a mod c)(b mod c)] mod c
④乘方：a^b mod c = [(a mod c)^b]mod c
- 其他一般定律
①结合律：加法结合律 ((a+b) % c + c) % c = (a + (b+c) % c) % c
乘法结合律 ((ab) % c * c)% c = (a * (bc) % c) % c
②交换律：加法交换律 (a + b) % c = (b+a) % c
乘法交换律 (a * b) % c = (b * a) % c
③分配律：((a +b)% c * c) % c = ((a * c) % c + (b * c) % c) % c - 组合律的应用定理
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；
若a≡b (%p)，c≡d (%p)，
则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，
(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，
(a / c) ≡ (b / d) (%p) - 乘法逆元
如果ax≡1 mod p，且gcd(a,p)=1(a,p 互质, gcd()函数为最大公因数)， 则称a关于模p的乘法逆元为x。
既然有ax≡1 mod p， 那么存在整数x、y解，使得ax－py=1，叫做x是a关于模p的乘法逆元。
四、回答开篇的梅森素数快速求模的问题
例：以最大的第51个梅森素数为例，
解法1采用费马小定理
((2^82589933)-1)％3
＝ ((2^82589933)％3-1％3) ％3
＝ (((2(3-1)％3)int(82589933/2))％32％3-1％3) ％3
＝ ((1^ int(82589933/2))%3 2％3-1％3)%3
＝ (1%3* 2％3-1％3)％3
＝ 1
解法2 采用一般的凑≡1（mod c）的方法
因为2^2≡1（mod 3）
所以2^(2* 42294966) ≡1（mod 3）
＝＞ (2^82589933)％3 = (2^(2* 42294966)) ％3*2％3 = 2％3
＝＞ ((2^82589933)-1)％3 =(2％3-1％3)％3
＝ 1
五、同余关系在求余中的占比问题 （一个特殊问题的观念）
同余问题是求余问题中引申出来的重要的一个方面，也是中国余数定理（孙子定理）的重要分支。其中还有一个重要的口诀：“余同取余。和同加和，差同减差，公倍数作周期”。
例如：
① 余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1
② 和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7
③ 差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3
中国人总结的口诀清晰明了，但是有个问题就是往往中国人的总结的东西适用性不够全面。也就是说，同余关系的情况，很有可能只是求余中的少数特例，不具备成为更为普遍性的定理。为了验证这个问题，需要计算一下三种“同余关系”在求余中的情况占比。
还以上述例子的4,5,6，三个模为例。
在一个公倍数60的周期里面，总共的余数情况有60种，需要看看“余同”、“和同”、“差同”的各自占比情况。
从下表可知，余同的情况占比：
① 余同：占比 4/60=6.67%
② 和同：占比 2/60=3.33%
③ 差同：占比 4/60=6.67%
三种同的情况占比总共只有：10/60＝16.67%
而其他的情况，占比：50/60＝83.33％。
结论是：同余问题只占余数定理中的很少的情况
表. 模4,5,6的余数情况表
