A向量的第i个值除以B向量的第i个值的平方根 R语言

矩阵

• 矩阵的概念及运算

• 定义
• 运算

• 加法

• 运算律

• 数乘

• 运算律

• 矩阵乘法

• 运算律

• 方阵运算

• 方阵的行列式

• 运算律

• 矩阵的转置

• 运算律

• 共轭矩阵

• 运算律

• 特殊矩阵

• 伴随矩阵
• 初等矩阵
• 对称阵
• 反对称阵
• 正交阵

• 可逆矩阵

• 主要定理
• 矩阵可逆的充要条件
• 运算律

• 矩阵初等变换 ⋆ ⋆ ⋆ \star\star\star ⋆⋆⋆

• 定义
• 初等矩阵

• 性质

• 等价

• 等价关系的性质

• 矩阵的秩

• k阶子式
• 矩阵秩的定义

• 性质
• 矩阵秩的公式

• 分块矩阵

• 分块矩阵的运算

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矩阵的概念及运算

定义

由m×n个数$a_{ij}(i=1,2,…,m;j=1,2,...,n)$排成m行n列的数表

称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵，记作

运算

加法

两个同型矩阵可以相加

运算律

数乘

运算律

矩阵乘法

设$A=(a_{ij})_{m×s},B=(b_{ij})_{s×n}$,则A×B=C,其中$C=(c_{ij})_{m×n}$，且

运算律

方阵运算

注意：

(1) 矩阵乘法一般不满足交换律；

(2) 一般$(AB)^k\ne A^kB^k$

方阵的行列式

A为n阶方阵，$|A|=detA$为A的行列式

运算律

矩阵的转置

运算律

共轭矩阵

设$A=(a_{ij})$为复矩阵，$\overline{a}_{ij}$表示$a_{ij}$的共轭复数，则$\overline{A}=(\overline{a}_{ij})$为方阵的共轭矩阵。

运算律

A,B为复矩阵，λ为负数

特殊矩阵

伴随矩阵

由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的矩阵成为矩阵A的伴随矩阵，记为$A^*$

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。

对称阵

满足$A^T=A$的矩阵称为对称阵。

反对称阵

满足$A^T=-A$，即$a_{ij}=-a_{ji},a_{ii}=0$的矩阵。

正交阵

$A^TA=AA^T=E$的矩阵称为正交阵，即$A^T=A^{-1}$

可逆矩阵

设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使 AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记作$A^{-1}=B$。可逆矩阵又称非奇异矩阵，不可逆矩阵又称奇异矩阵。

主要定理

1. 若A可逆，则A的逆矩阵唯一。
2. $A可逆\iff|A|\ne0$

矩阵可逆的充要条件

（1）存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E）
（2）$|A|\ne0$或r(A)=n,或A的行（列）线性无关。
（3）齐次方程组Ax=0只有零解。
（4）对于任意b，非齐次线性方程组Ax=b总有唯一解。
（5）矩阵A的特征值全不为0.

运算律

矩阵初等变换$\star\star\star$

用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A作了一次和矩阵P同样的行变换（若右乘就是相应的列变换）。

定义

1. 交换矩阵的两行或两列
2. 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）
3. 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。
   称为矩阵的三种初等行（列）变换，且分别称为互换、倍乘、倍加行（列）变换，统称为初等变换。

初等矩阵

由单位矩阵经一次初等变换的到的矩阵称为初等矩阵。

性质

1. 初等矩阵的转置仍是初等矩阵。
2. 初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵。
   $E_i^{-1}(k)=E_i({1\over k}),E_{ij}^{-1}=E_{ij},E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
3. A左（右）乘初等矩阵，相等于A作相应的初等行（列）变换。
4. 当A是可逆阵时，则A可作一系列初等行变换化为单位阵。

等价

若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。记为$A\cong B$。

等价关系的性质

(1) 反身性　A~A;
(2) 对称性　若A~B,则B ~A;
(3) 传递性　若A ~ B,B ~ C,则A~C;

矩阵的秩

k阶子式

在m×n矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

矩阵秩的定义

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

性质

1. 零矩阵的秩为0；
2. $R(A)=R(A^T)$
3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；
4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。
5. 若A~B,则R(A)=R(B).

矩阵秩的公式

分块矩阵

用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。

分块矩阵的运算

（1）加法

设A，B为同型矩阵，分法相同，对应子块相加，即将m×n矩阵A，B分块为

（2）数乘

（3）矩阵乘法

则：

（4）转置

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{bmatrix}$

（5）分块对角矩阵

其中$A_j(j=1,2,...t)$都是方阵。

则