树的定义：连通无回路的无向图是一棵树。
有关树的问题：
1、最小生成树。
2、次小生成树。
3、有向图的最小树形图。
4、LCA（树上两点的最近公共祖先）。
5、树的最小支配集、最小点覆盖、最大独立集。
一、最小生成树
解决的问题是：求无向图中边权值之和最小的生成树。
算法有Kruskal和Prim。
Kruskal使用前向星和并查集实现，可以存储重边（平行边），时间复杂度是O(m log m + m)，m是边的数量。
Prim使用邻接矩阵建图，不可以存储重边（平行边），如果出现重边，存储的是权值最小的那一条，时间复杂度为O(n*n), n是顶点的数量。使用邻接表建图可能会提高效率。
一般情况下，题目都是比较裸的。难度为易。
模版:建好图以后，直接调用，输出。
prim
1 const int maxn=101,INF=0x3f3f3f3f;
2 int dist[maxn],Map[maxn][maxn],pre[maxn];
3 //向外延伸的最短边长，记录图信息，记录连接信息
4 bool p[maxn];//1表示点已经在树的，0表示点在树外
5 bool f[maxn][maxn];
6 int Prim(int n)
7 {
8 int i,j,k,Min,ans=0;
9 for(i=2;i<=n;i++)
10 {
11 p[i]=0;
12 dist[i]=Map[1][i];
13 pre[i]=1;
14 }
15 dist[1]=0;
16 p[1]=1;
17 for(i=1;i<n;i++)
18 {
19 Min=INF;
20 k=0;
21 for(j=1;j<=n;j++)
22 {
23 if(!p[j]&&dist[j]<Min)
24 {
25 Min=dist[j];
26 k=j;
27 }
28 }
29 if(k==0) return -1;//G不连通
30 ans+=Min;
31 p[k]=1;
32 for(j=1;j<=n;j++)
33 {
34 if(!p[j]&&Map[k][j]!=INF&&dist[j]>Map[k][j])
35 {
36 dist[j]=Map[k][j];
37 pre[j]=k;
38 }
39 }
40 }
41 return ans;
42 }View Code
Kruskal
1 const int N=1010,M=100010;
2 int f[N],r[N];
3 struct node
4 {
5 int x, y, len;
6 }e[M];
7 int cmp(const node &a,const node &b)
8 {
9 return a.len<b.len;
10 }
11 void Make_Set(int n)
12 {
13 for(int i=0;i<=n;i++)
14 {
15 f[i]=i;
16 r[i]=1;
17 }
18 }
19 void Link(int a, int b)
20 {
21 if (r[a] > r[b]) {f[b] = a; r[a]+=r[b];}
22 else {f[a] = b; r[b]+=r[a];}
23 }
24 int Find_Set(int a)
25 {
26 if (a == f[a]) return a;
27 else return f[a] = Find_Set(f[a]);
28 }
29 int Kruskal(int n,int m)
30 {
31 int i, j, k, s=0,cn=0;
32 Make_Set(n);
33 sort(e,e+m,cmp);
34 for(i=0;i<m;i++)
35 {
36 j=Find_Set(e[i].x);
37 k=Find_Set(e[i].y);
38 if(j!=k) {
39 Link(j,k);
40 s+=e[i].len;
41 cn++;
42 }
43 if(cn==n-1) break;
44 }
45 if(cn<n-1) return -1;
46 return s;
47 }View Code
二、次小生成树
1、最朴素的办法就是暴力枚举。求一遍最小生成树以后，依次删除最小生成树上的边，求此时的最小生成树，值最小的就是我们所求的。总共要运行 n次最小生成树算法，时间复杂度为n倍最小生成树算法的复杂度。有些题目能AC。暴力枚举在没有好方法时，也是一种非常好的方法。
2、我们知道，添加任意一条不在最小生成树上的边以后一定会形成一个环。找到环上除了(u,v)以外的权值最大的边，把它删掉，那么此时生成树就可能是次小生成树。基于这种思想：首先求出原图最小生成树，权值之和为MST。在执行最小最小生成树算法的时候，记录任意两点(u,v)路径之间的最大权值，maxe[u][v]。注意，不是记录以u与v为起点和终点的边的最大值，是两点之间的路径，可能有多个点在它们之间。然后枚举每一条边，如果该边不是原本最小生成树上的边，就用MST - maxe[u][v] + Map[u][v]，统计结果最小的。
需要知道的是次小生成树的权值和可以与最小生成树的权值和相等。
模版：
prim(直接贴poj1679的代码了)
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdio>
4 #include<algorithm>
5 using namespace std;
6
7 const int maxn=1100,INF=0x3f3f3f3f;
8 int dist[maxn],Map[maxn][maxn],pre[maxn],maxe[maxn][maxn];
9 //向外延伸的最短边长，记录图信息，记录连接信息,最长边
10 bool vis[maxn];//1表示点已经在树的，0表示点在树外
11 bool f[maxn][maxn];//存在边为1，用过为0
12 int n,m;//顶点数目
13 int Prim()
14 {
15 int i,j,k,Min,ans=0;
16 memset(vis,0,sizeof(vis));
17 memset(f,0,sizeof(f));
18 memset(maxe,0,sizeof(maxe));
19 for(i=2;i<=n;i++)
20 {
21 dist[i]=Map[1][i];
22 pre[i]=1;
23 }
24 dist[1]=0;
25 vis[1]=1;
26 pre[1]=0;
27 for(i=1;i<n;i++)
28 {
29 Min=INF;
30 k=0;
31 for(j=1;j<=n;j++)
32 {
33 if(!vis[j]&&dist[j]<Min)
34 {
35 Min=dist[j];
36 k=j;
37 }
38 }
39 if(Min==INF) return -1;//G不连通
40 vis[k]=1;
41 ans+=Min;
42 f[pre[k]][k] = f[k][pre[k]]=1;
43 for(j=1;j<=n;j++)
44 {
45 if(vis[j]) maxe[k][j]=maxe[j][k]=max(maxe[j][pre[k]],dist[k]);
46 if(!vis[j]&&dist[j]>Map[k][j])
47 {
48 dist[j]=Map[k][j];
49 pre[j]=k;
50 }
51 }
52 }
53 return ans;
54 }
55 void init()
56 {
57 for(int i=0;i<=n;i++)
58 for(int j=0;j<=n;j++)
59 {
60 if(i==j)Map[i][j]=0;
61 else Map[i][j]=INF;
62 }
63 }
64 int main()
65 {
66 //freopen("test.txt","r",stdin);
67 int i,j,k,a,b,c,ca;
68 scanf("%d",&ca);
69 while(ca--)
70 {
71 scanf("%d%d",&n,&m);
72 init();
73 for(i=0;i<m;i++)
74 {
75 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
76 Map[a][b]=Map[b][a]=c;
77 }
78 int ans=Prim();
79 if(ans==-1) {printf("Not Unique!\n");continue;}
80 int res=INF;
81 for(i=1;i<=n;i++)
82 {
83 for(j=i+1;j<=n;j++)
84 {
85 if(!f[i][j]&&Map[i][j]!=INF)
86 {
87 res=(res,ans+Map[i][j]-maxe[i][j]);
88 }
89 }
90 }
91 if(res==ans) printf("Not Unique!\n");
92 else printf("%d\n",ans);
93 }
94 return 0;
95 }View Code
kruskal
1 //O(mlogm+n^2)
2 const int N=1010,M=100010,INF=0x3f3f3f3f;
3 int f[N],r[N];
4 int Find(int x)
5 {
6 if(x==f[x]) return x;
7 return f[x]=Find(f[x]);
8 }
9 void Link(int x,int y)
10 {
11 int a=Find(x), b=Find(y);
12 if(a!=b)
13 {
14 f[b]=a;
15 r[a]+=r[b];
16 }
17 }
18 struct node
19 {
20 int u,v,w;
21 bool select;
22 }edge[M];
23 bool cmp(const node &a, const node &b)
24 {
25 if(a.w!=b.w) return a.w<b.w;
26 if(a.u!=b.u) return a.u<b.u;
27 return a.v<b.v;
28 }
29 struct node1
30 {
31 int to,next;
32 }e[N];
33 int cnt,tot,head[N],en[N],maxe[N][N];
34 //e的边数、头结点、尾结点、两点在mst中的最大边
35 void Kruskal(int n,int m)
36 {
37 int k=0, i,j,t;
38 for(cnt=0;cnt<n;cnt++)
39 {
40 e[cnt].to=cnt+1;
41 e[cnt].next=head[cnt+1];
42 en[cnt+1]=cnt;
43 head[cnt+1]=cnt;
44 }
45 sort(edge,edge+m,cmp);
46 for(i=0;i<m;i++)
47 {
48 if(k==n-1) break;
49 if(edge[i].w<0) continue;
50 int a=Find(edge[i].u), b=Find(edge[i].v);
51 if(a!=b)
52 {
53 for(j=head[a];j!=-1;j=e[j].next){
54 for(t=head[b];t!=-1;t=e[t].next){
55 int u=e[j].to, v=e[t].to;
56 maxe[u][v]=maxe[v][u]=edge[i].w;
57 }
58 }
59 e[en[b]].next=head[a];
60 en[b]=en[a];
61 Link(a,b);
62 k++;
63 edge[i].select=1;
64 }
65 }
66 }
67 void addedge(int u,int v,int w)
68 {
69 edge[tot].u=u;edge[tot].v=v;edge[tot].w=w;tot++;
70 }
71 void init()
72 {
73 tot=0;
74 memset(head,-1,sizeof(head));
75 memset(en,-1,sizeof(en));
76 for(int i=0;i<N;i++){
77 edge[i].select=0;
78 f[i]=i;
79 r[i]=1;
80 }
81 }
82 int main()
83 {
84 //freopen("test.txt","r",stdin);
85 int mst,secmst;
86 Kruskal(n,m);
87 mst=0;
88 for(i=0;i<m;i++){
89 if(edge[i].select) mst+=edge[i].w;
90 }
91 secmst=INF;
92 for(i=0;i<m;i++){
93 if(!edge[i].select)
94 secmst=min(secmst,mst+edge[i].w-maxe[edge[i].u][edge[i].u]]);
95 }
96
97 return 0;
98 }View Code
算法的不同，当然也继承了该算法的特点。Prim不能存重边。这是需要注意的。
题目：Hdu2489 poj1679
hdu4081
三、有向图的最小树形图
解决的问题：一水源给菜地供水，水只能从高处向低处流，修水渠需要一定的花费，问怎样才能使得花费最低。
边是有方向的，与最小生成树不同，这可以理解为有向图的最小生成树。
算法是朱刘算法，难得的以国人名字命名的算法。
邻接矩阵建图，时间复杂度为O( n*n*n )。 hdu4009用这种方法超时了。
前向星建图，时间复杂度为O( n*m )。
朱刘算法的两种实现可以看我的博客
题目:hdu4009 、 hdu2121
四、LCA（树上两点的最近公共祖先）
解决的问题：求树上的任意两个点之间的最短距离。
用最短路的方法是行不通的，复杂度太高。所以才有解决LCA的专门的算法。
我只会离线的Tarjan(图拉)算法。 时间复杂度为O(m+q),m是边数，q是问题的个数。
我的博客里已经有相关的介绍了。
题目：poj1330 （hdu2586）
五、树的最小支配集、最小点覆盖、最大独立集
注意：是树上的，图中一定不能有圈。
都是基于深度优先搜索。
最小支配集：对于图G=(V,E)，从V取尽量少的点组成一个集合，使得V中剩余的点都与取出来的点有边相连。
最小点覆盖：对于图G=(V,E)，从V取尽量少的点组成一个集合，使得E中所有的边都与取出来的点相连。
最大独立集：对于图G=(V,E)，从V取尽量多的点组成一个集合，使得这些点之间没有边相连。
时间复杂度都是O(n)。
这方面的题目似乎不曾出现，但是作为图论的学习者，有必须会。
实现的算法很相似。
顶点下标从1开始的。
1 /*newpos[i]表示深度优先遍历序列的第i个点是哪个点，
2 now表示当前深度优先遍历序列已经有多少个点了。select[]用于
3 深度优先遍历的判重，p[i]表示点i的父节点的编号。对于greedy(),
4 s[i]为1表示第i个点被覆盖。se[i]表示点i属于要求的点集*/
5
6 const int N = 1010;
7 struct node
8 {
9 int to, w, next;
10 }e[N*N];
11 int head[N],tot,now;
12 int p[N], newpos[N] ;
13 bool select[N];
14 bool s[N],se[N];
15 //深度优先遍历，得到深度优先遍历序列
16 void dfs(int x)
17 {
18 newpos[now++] = x;
19 int k;
20 for(k=head[x]; k!=-1; k=e[k].next)
21 {
22 if(!select[e[k].to])
23 {
24 select[e[k].to]= 1;
25 p[e[k].to]=x;
26 dfs(e[k].to);
27 }
28 }
29 }
30 //最小支配集
31 int greedy1()
32 {
33 memset(s,0,sizeof(s));
34 memset(se,0,sizeof(se));
35 int ans=0;
36 int i;
37 for(i=now-1; i>=0; i--)
38 {
39 int t=newpos[i];
40 if(!s[t])
41 {
42 if(!se[p[t]])
43 {
44 se[p[t]]=1;
45 ans++;
46 }
47 s[t] = 1;
48 s[p[t]] = 1;
49 s[p[p[t]]] = 1;
50 }
51 }
52 return ans;
53 }
54 //最小点覆盖
55 int greedy2()
56 {
57 memset(s,0,sizeof(s));
58 memset(se,0,sizeof(se));
59 int ans=0;
60 int i;
61 for(i=now-1; i>=1; i--)
62 {
63 int t=newpos[i];
64 if(!s[t]&&!s[p[t]])
65 {
66 se[p[t]]=1;
67 ans++;
68 s[t] = 1;
69 s[p[t]] = 1;
70 }
71 }
72 return ans;
73 }
74 //最大独立集
75 int greedy3()
76 {
77 memset(s,0,sizeof(s));
78 memset(se,0,sizeof(se));
79 int ans=0;
80 int i;
81 for(i=now-1; i>=0; i--)
82 {
83 int t=newpos[i];
84 if(!s[t])
85 {
86 se[t]=1;
87 ans++;
88 s[t] = 1;
89 s[p[t]] = 1;
90 }
91 }
92 return ans;
93 }
94 void addedge(int i,int j)
95 {
96 e[tot].to=j;e[tot].next=head[i];head[i]=tot++;
97 }
98 void init()
99 {
100 tot=now=0;
101 memset(head,-1,sizeof(head));
102 memset(select, 0, sizeof(select));
103 }
104 int main()
105 {
106 /* 读入图*/
107 select[1]=1;
108 p[1]=1;
109 dfs(1);
110 printf("%d\n",greedy());
111 return 0;
112 }View Code
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