java算法 n皇后问题算法

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mob64ca12d84572 2023-08-09 07:09:17 ©著作权

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N皇后问题及其解决算法

1. 问题背景

N皇后问题是一个经典的回溯算法问题，旨在找到一种方法在N × N的棋盘上放置N个皇后，使得任意两个皇后不在同一行、同一列或同一斜线上。这个问题最早由欧拉在18世纪提出，并且对于不同的N值，其解的数量也有着不同的规律。N皇后问题是计算机科学中的重要问题，其解决算法也具有一定的科学意义和应用价值。

2. 问题求解思路

N皇后问题可以使用回溯算法进行求解。回溯算法是一种通过遍历所有可能的解来找到所有解的算法，当发现当前的分步答案不能得到有效的完整解时，回溯算法会返回上一步进行尝试，这是一种经典的递归算法思想。

具体地，我们可以使用一个一维数组board来表示棋盘，其中board[i]的值表示第i行皇后所在的列。例如，对于一个3×3的棋盘，board = [0, 1, 2]表示第0行的皇后在第0列，第1行的皇后在第1列，第2行的皇后在第2列。

在回溯算法中，我们通过递归函数backtrack()来实现对所有可能解的遍历。递归函数的参数包括当前的行数row、棋盘数组board、已经放置的皇后数目count，以及最终的结果res。具体算法步骤如下：

如果row == N，说明已经找到一个合法的解，将当前的棋盘数组board添加到结果res中。
遍历当前行的每一个列，判断是否可以放置皇后：
- 如果在当前位置放置皇后不冲突，则更新board[row]的值为当前列，然后递归调用backtrack(row + 1, board, count + 1, res)。
- 如果在当前位置放置皇后冲突，则继续遍历下一列。
返回结果res。

代码如下所示：

class Solution {
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> res = new ArrayList<>();
        int[] board = new int[n];
        backtrack(0, board, 0, res);
        return res;
    }

    private void backtrack(int row, int[] board, int count, List<List<String>> res) {
        int n = board.length;
        if (row == n) {
            List<String> solution = generateSolution(board);
            res.add(solution);
            return;
        }

        for (int col = 0; col < n; col++) {
            if (isValid(board, row, col)) {
                board[row] = col;
                backtrack(row + 1, board, count + 1, res);
            }
        }
    }

    private boolean isValid(int[] board, int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (board[i] == col || Math.abs(board[i] - col) == Math.abs(i - row)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    private List<String> generateSolution(int[] board) {
        int n = board.length;
        List<String> solution = new ArrayList<>();
        for (int row = 0; row < n; row++) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int col = 0; col < n; col++) {
                sb.append(board[row] == col ? "Q" : ".");
            }
            solution.add(sb.toString());
        }
        return solution;
    }
}