【C语言】递归和迭代（斐波那契数列问题）

1.递归算法一般用于解决三类问题：

1. 问题解的定义是按递归定义的（如阶乘）。
2. 问题解法由回溯算法实现（如数字排列组合问题）。
3. 数据的结构形式是按递归定义的（树的遍历，图的搜索、嵌套列表）。

2.什么是递归呢？🤔🤔🤔

• 递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。

#include <stdio.h>

int main()
{
 printf("hehe\n");
 main();//main函数中⼜调⽤了main函数 
 return 0;
}

• 上述就是⼀个简单的递归程序，只不过上⾯的递归只是为了演⽰递归的基本形式，不是为了解决问题，代码最终也会陷⼊死递归，导致栈溢出。

1. 如下图：

2.1递归的思想

1. 把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把⼤事化⼩的过程。
2. 递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，需要从题目中慢慢了解。

3.递归的限制条件

• 递归在书写的时候，有2个必要条件：

1. 递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。
2. 每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。

4.递归举例

4.1举例1：求n的阶乘(即1~n的数累计相乘)

4.1.1分析和代码实现

• 已知n的阶乘的公式：n!=n*(n-1)!

举例：
		5! = 5*4*3*2*1
  	4! = 4*3*2*1
  所以:5! = 5*4!
    
 这样的思路就是把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。
 n!--->
n*(n-1)!
 (n-1)!
--->
(n-1)*(n-2)!

...(直到n是1或者0时，不再拆解)
    
再稍微分析⼀下，当 n<=1 的时候，n的阶乘是1，其余n的阶乘都是可以通过上述公式计算。
【这样我们就找出了限制条件】

那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶乘

测试：

#include <stdio.h>

int Fact(int n)
{
 if(n<=0)
	 return 1;
 else
	 return n*Fact(n-1);
}

int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fact(n);
 printf("%d\n", ret);
 return 0;
}

4.1.2画图推演

4.2举例2：按正序打印一个整数的每一位

4.2.1分析和代码实现

1234%10就能得到4，然后1234/10得到123，这就相当于去掉了4

然后继续对123%10，就得到了3，再除10去掉3，以此类推

不断的 %10 和 \10 操作，直到1234的每⼀位都得到；

但是这⾥有个问题就是得到的数字顺序是倒着的

Print(n)

如果n是1234，那表⽰为
Print(1234) //打印1234的每⼀位 
其中1234中的4可以通过%10得到，那么
Print(1234)就可以拆分为两步：
1. Print(1234/10) //打印123的每⼀位 
2. printf(1234%10) //打印4 
完成上述2步，那就完成了1234每⼀位的打印
那么Print(123)⼜可以拆分为Print(123/10) + printf(123%10)

得到：

Print(1234)
==>Print(123) + printf(4)
==>Print(12) + printf(3)
==>Print(1) + printf(2)
==>printf(1)

直到被打印的数字变成一位数的时候，就不需要再拆分，递归结束

void Print(int n)
{
 if(n>9)
 {
 Print(n/10);
 }
 printf("%d ", n%10);
}

int main()
{
 int m = 0;
 scanf("%d", &m);
 Print(m);
 return 0;
}

4.2.2画图推演

5.递归和迭代

• 递归，就是在运行的过程中调用自己。
• 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。

* 在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都要需要为本次函数调⽤在栈区申请⼀块内存空间来保存函数调⽤期间 的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。

* 函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归 函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。

* 所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢 出（stack
over
flow）的问题。

注意：

如果不想使⽤递归就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。

int Fact(int n)
{
 int i = 0;
 int ret = 1;
 for(i=1; i<=n; i++)
 {
 ret *= i;
 }
 return ret;
10 }
//上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。

事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰， 但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。

当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运⾏时开销。

6.典例：斐波那契数列

6.1题：求第n个斐波那契数

• 计算第n个斐波那契数，是不适合使⽤递归求解的，但是斐波那契数的问题通过是使⽤递归的形式描述的，如下：

因此得到如下代码：

int Fib(int n)
{
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}
#include <stdio.h>

int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 return 0;
}

• 当我们n输⼊为50的时候，需要很⻓时间才能算出结果，这个计算所花费的时间，是我们很难接受的，这也说明递归的写法是⾮常低效的，那是为什么呢？

• 其实递归程序会不断的展开，在展开的过程中，我们很容易就能发现，在递归的过程中会有重复计算，⽽且递归层次越深，冗余计算就会越多。我们可以作业测试：

#include <stdio.h>

int count = 0;

int Fib(int n)
{
 if(n == 3)
 count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数 
 if(n<=2)
 return 1;
 else
 return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

int main()
{
 int n = 0;
 scanf("%d", &n);
 int ret = Fib(n);
 printf("%d\n", ret); 
 printf("\ncount = %d\n", count);
 return 0;
}

输出结果：

这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了 39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得想迭代的⽅式解决。

• 我们知道斐波那契数的前2个数都1，然后前2个数相加就是第3个数，那么我们从前往后，从⼩到⼤计算就⾏了。
• 这样就有下⾯的代码：

int Fib(int n)
{
 int a = 1;
 int b = 1;
 int c = 1;
 while(n>2)
 {
 c = a+b;
 a = b;
 b = c;
 n--;
 }
 return c;
}

迭代的方式去实现这个代码就要高出很多了。

有时候，递归虽好，但是也会引⼊⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。