谓Fibonacci数列是指这样一种数列，它的前两项均为1，从第三项开始各项均为前两项之和。用数学公式表示出来就是：
1 (n=1,2)
fib(n)=
fib(n-1)+fib(n-2) (n>2)
可以证明斐波那契数列的通项公式为fib(n) = [(1＋√5)/2]^n /√5 － [(1－√5)/2]^n /√5 (n=1,2,3.....）,关于斐波那契数列的详细介绍请参阅百度百科。
下面我将介绍三种比较常用的求解第n项斐波那契数列的方法：递归法、迭代法、通项公式法。
1、递归法
这种方法的优点是简洁和容易理解，缺点是时间复杂度太大，随着n的增大，运算时间将会急剧增加。因此在很多场合这种方法是不可取的。
使用这种方法的关键代码是：
if(n == 1|| n== 2)
{
return 1;
}
else
{
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
2、迭代法
这种方法相对于递归法来说在时间复杂度上减小了不少，但代码相对就要复杂些了。它的思想是这样的，假设开始时f0=1,f1=1,currentFib表示当前斐波那契数，则：
for(i = 1;i < n;i++)
{
currentFib = f0 + f1;
f0 = f1;
f1 = currentFib;
}
这样迭代结束和currentFib就是fib(n)了。
3、通项公式法
这种方法是最没技术含量的方法，只要你知道通项公式照着把它翻译成编程语言就可以了，优点不言而喻。
fib(n) = pow(((1 + sqrt(5)) / 2.0),n) / sqrt(5) - pow(((1 - sqrt(5)) / 2.0),n) / sqrt(5));
小结：
这三种方法各有优缺点，使用哪种方法根据实际情况确定，从时间复杂度上来说O(通向公式法)<O(迭代法)<O(递归法)。
下面我做了一个简单的测试：分别测试这三种方法计算0-30这31个斐波那契数所用的总时间。从测试结果看，递归确实很费时，特别是n在30以后计算起来就很费时了，而另外两种方法计算这31个斐波那契数所费时间基本为0。当然结果不会很准确，但至少能说明问题。
测试代码：
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#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define ROOT_OF_FIVE sqrt(5.0)
long double fib1(int n);
//使用递归
long double fib2(int n);
//使用迭代
long double fib3(int n);
//使用通项公式
int main()
{
int i;
long double result1[31],result2[31],result3[31],consume[3],start,finish;
printf("N 递归法 迭代法 通项公式法\n");
start = (long double)clock();
for(i = 0;i <= 30;i++)
{
result1[i] = fib1(i);
}
finish = (long double)clock();
consume[0] = finish - start;
start = (long double)clock();
for(i = 0;i <= 30;i++)
{
result2[i] = fib2(i);
}
finish = (long double)clock();
consume[1] = finish - start;
start = (long double)clock();
for(i = 0;i <= 30;i++)
{
result3[i] = fib3(i);
}
finish = (long double)clock();
consume[2] = finish - start;
for(i = 0;i <= 30;i++)
{
printf("%02d %06.0lf %06.0lf %06.0lf\n",i,result1[i],result2[i],result3[i]);
}
printf("Total time: %lfms %lfms %lfms\n",consume[0],consume[1],consume[2]);
return 0;
}
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long double fib1(int n)
{//使用递归
if(n == 0)
{
return 0;
}
else if(n == 1)
{
return 1;
}
else
{
return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
}
}
long double fib2(int n)
{//使用迭代
if(n == 0)
{
return 0;
}
else if(n == 1)
{
return 1;
}
else
{
long double f0 = 0,f1 = 1,currentFib;
int i;
for(i = 1;i < n;i++)
{
currentFib = f0 + f1;
f0 = f1;
f1 = currentFib;
}
return currentFib;
}
}
long double fib3(int n)
{//使用通项公式Fib(n) = [(1＋√5)/2]^n /√5 － [(1－√5)/2]^n /√5
return (pow(((1 + ROOT_OF_FIVE) / 2.0),n) / ROOT_OF_FIVE -
pow(((1 - ROOT_OF_FIVE) / 2.0),n) / ROOT_OF_FIVE);
}
