金币路径问题及其解法

在算法与编程中，“金币路径”问题是一个经典的动态规划示例。这个问题通常涉及到在一个二维网格中收集金币，同时限制了移动的方向。本文将对此问题进行详细探讨，并提供 Java 的代码示例，帮助读者更好地理解这一主题。

问题描述

假设你位于一个 m x n 的网格中，网格的每个单元格中都有金币，任务是找到一条路径，使得你经过的单元格中的金币总数最大。你只能向下或向右移动。

示例

假设有如下网格：

1 2
3 1
1 2 4
2 1 5

从 (0,0) 移动到 (2,2) 的最大金币数是 12，路径为 (0,0) -> (0,1) -> (1,1) -> (1,2) -> (2,2)。

解法思路

采用动态规划的方式，我们可以构建一个 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示到达 (i,j) 位置时获得的最高金币数。转移方程如下：

  • 如果当前单元格有金币，则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
  • 边界情况：如果 i 或 j 为0，则我们只能从一个方向移动到达该点。

代码示例

下面是实现上述逻辑的 Java 代码示例：

public class CoinPath {
    public int maxCoins(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        
        int[][] dp = new int[m][n];
        
        // 初始化起点
        dp[0][0] = grid[0][0];
        
        // 填充第一行
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
        }
        
        // 填充第一列
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        
        // 填充其余部分
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        CoinPath cp = new CoinPath();
        int[][] grid = {
            {0, 3, 1},
            {2, 0, 4},
            {1, 5, 0}
        };
        System.out.println("最大金币数: " + cp.maxCoins(grid));
    }
}

图示化旅行路径

在理解了动态规划算法后，我们可以运用 Mermaid 来可视化路径：

journey
    title 金币路径旅行
    section 开始
      开始: 0: 0
    section 移动
      向右到 (0, 1): 2: 0
      向下到 (1, 1): 3: 0
      向右到 (1, 2): 4: 0
      向下到 (2, 2): 5: 0

总结

在“金币路径”问题中，利用动态规划的方式不仅高效解决了问题，也为我们解决其他类似问题提供了深刻的思考方法。通过上述 Java 代码和路径可视化，希望读者对这一经典问题有了更深入的理解，并能灵活运用至其他编程实践中。面对更复杂的应用场景，我们也可以根据情况进行扩展与优化。