分形中的一个很有名的例子。
分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状”[1],即具有自相似的性质。分形思想的根源可以追溯到公元17世纪,而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔和费利克斯·豪斯多夫对连续而不可微函数的研究。但是分形(fractal)一词直到1975年才由本华·曼德博创造出,来自拉丁文 frāctus,有“零碎”、“破裂”之意。一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统[2]。分形有几种类型,可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。虽然分形是一个数学构造,它们同样可以在自然界中被找到,这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。
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[编辑] 特征
分形一般有以下特质:[3]
- 在任意小的尺度上都能有精细的结构;
- 太不规则,以至无论是其整体或局部都难以用传统欧氏几何的语言来描述;
- 具有(至少是近似的或统计的)自相似形式;
- 一般地,其“分形维数”(通常为豪斯多夫维数)会大于拓扑维数(但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外);
- 在多数情况下有着简单的递归定义。
因为分形在所有的大小尺度下都显得相似,所以通常被认为是无限复杂的(以不严谨的用词来说)。自然界里一定程度上类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线、雪片、植物根、多种蔬菜(如花椰菜和西兰花)和动物的毛皮的图案等等。但是,并不是所有自相似的东西都是分形,如实直线虽然在形式上是自相似的,但却不符合分形的其他特质,比如说它能被传统的欧氏几何语言所描述。
分形的图像可以用分形生成软件作出。尽管用此类软件生成的图像并不具备上述分形的特征,比如说存在放大后无上述特征的局部区域,但是这些图像通常仍然被称为分形。而且这些图像可能含有由计算或显示造成的人为偏差——一些不属于分形的特征。
要做出
科赫雪花,将正三角形每边中央三之分一的线段以一对同长的线段取代,形成一个等腰的“凸角”。再对上一步骤所形成的每一边做同样的动作。每一次
迭代,总长度增加三分之一。科赫雪花即是无限次迭代的结果,有无限长的周长,但其面积还是有限的。因此,科赫雪花和其他相似构造有时会被称为“怪兽曲线”。
[编辑] 历史
谢尔宾斯基三角形的动画表示,只显示出
无限递归的最初九次。
17世纪时,数学家兼哲学家莱布尼茨思考过递归的自相似,分形的数学从那时开始渐渐地成形(虽然他误认只有直线会自相似)。
直到1872年,卡尔·魏尔施特拉斯才给出一个具有处处连续但处处不可微这种非直观性质的函数例子,其图像在现今被认为是分形。1904年,海里格·冯·科赫不满意魏尔施特拉斯那抽象且解析的定义,用更加几何化的定义给出一个类似的函数,今日称之为科赫雪花。1915年瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基造出了谢尔宾斯基三角形;隔年,又造出了谢尔宾斯基地毯。1938年,保罗·皮埃尔·莱维在他的论文《Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole》中将自相似曲线的概念更进一步地推进,他在文中描述了一个新的分形曲线-莱维C形曲线。格奥尔格·康托尔也给出一个具有不寻常性质的实直线上的子集-康托尔集,今日也被认为是分形。
复平面的迭代函数在19世纪末20世纪初被儒勒·昂利·庞加莱、菲利克斯·克莱因、皮埃尔·法图和加斯东·茹利亚等人所研究,但直到现在有电脑绘图的帮忙,许多他们所发现的函数才显现出其美丽来。
1960年代,本华·曼德博开始研究自相似,且在路易斯·弗莱·理查德森之前工作的基础上,写下一篇论文《英国的海岸线有多长?统计自相似和分数维度》。最终,曼德博在1975年提出了“分形”一词,来标记一个豪斯多夫-贝西科维奇维数大于拓扑维数的物件。曼德博以显著的电脑绘制图像来描绘此一数学定义,这些图像征服了大众的想像;它们中许多都基于递归,导致了大众对术语“分形”的通俗理解。
朱利亚集,一个与曼德博集有关的分形。
[编辑] 示例
一类分形的典型例子有:康托尔集、谢尔宾斯基三角形和地毯、门格海绵、龙形曲线、空间填充曲线和科赫曲线。其他的例子包括李雅普诺夫分形及克莱因群(Kleinian Group)的极限集。分形可以是确定性的,如上述所有的分形;也可以是随机的(即非确定性的)。比如说,平面上布朗运动的轨迹的豪斯多夫维数等于2。
混沌动力系统有时候会和分形联系起来。动力系统的相空间中的对象可以是分形(参见吸引子),一族系统的参数空间中的对象也可以是分形。一个有意思的例子就是曼德博集。这个集合包含很多完整的圆盘,所以它的豪斯多夫维数等于它的拓扑维数2;但是真正令人惊讶的是,曼德博集的边界的豪斯多夫维数也是2(而拓扑维数是1),这个结果由宍仓光广(Mitsuhiro Shishikura)在1991年证明。一个与曼德博集紧密相关的分形是朱利亚集。
完整曼德博集合
曼德博集合放大6倍
曼德博集合放大100倍
曼德博集合放大2000倍
即使将曼德博集合放大2000倍,还是会显示出类似整个集合的精细结构。
[编辑] 造法
四个制造分形的一般技术如下:
- 逃逸时间分形:由空间(如复平面)中每一点的递推关系式所定义,例如曼德博集合、茹利亚集合、火烧船分形、新分形和李奥普诺夫分形等。由一次或两次逃逸时间公式的迭代生成的二维矢量场也会产生分形,若点在此一矢量场中重复地被通过。
- 迭代函数系统:这些分形都有着固定的几何替代规则。康托尔集、谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、空间填充曲线、科赫雪花、龙形曲线、丁字方形、孟杰海绵等都是此类分形的一些例子。
- 随机分形:由随机而无确定过程产生,如布朗运动的轨迹、莱维飞行、分形风景和布朗树等。后者会产生一种称之为树状分形的分形,如扩散限制聚集或反应限制聚集丛。
- 奇异吸引子:以一个映射的迭代或一套会显出混沌的初值微分方程所产生。
[编辑] 分类
分形也可以依据其自相似来分类,有如下三种:
- 精确自相似:这是最强的一种自相似,分形在任一尺度下都显得一样。由迭代函数系统定义出的分形通常会展现出精确自相似来。
- 半自相似:这是一种较松的自相似,分形在不同尺度下会显得大略(但非精确)相同。半自相似分形包含有整个分形扭曲及退化形式的缩小尺寸。由递推关系式定义出的分形通常会是半自相似,但不会是精确自相似。
- 统计自相似:这是最弱的一种自相似,这种分形在不同尺度下都能保有固定的数值或统计测度。大多数对“分形”合理的定义自然会导致某一类型的统计自相似(分形维数本身即是个在不同尺度下都保持固定的数值测度)。随机分形是统计自相似,但非精确及半自相似的分形的一个例子。
[编辑] 应用
主条目: 分形分析
如上所述,随机分形可以用来描述许多高度不规则的现实世界的物件。其他分形的应用亦包括[4]:
- 医学中组织切片的归类
- 分形风景或海岸线复杂性
- 酵素/酵素学(米曼氏动力学)
- 制做新音乐
- 制作许多的艺术形式
- Signal and image compression
- 地震学
- 土壤力学中的分形
- 电脑及电视游戏设计,尤其是有机背景的CG和部份的过程生成
- 断口分析和断裂力学
- 分形天线-使用分形形状的小尺寸天线
- 小角度X光散射
- 新嬉皮T恤和其他的时尚服饰
- 伪装图样的制作,如MARPAT
- 数位日晷
- 价格序列的技术分析(见艾略特波浪理论)
- 在计算机科学,利用分形分析可以对档案进行压缩处理,特别是字型的效果更佳。微软的新细明体、标楷体及金梅字型等均采用了分形分析,把字型分解成更基本的笔划分形,从而令字库的档案大小比传统的描边字型减少了数倍。
[编辑] 软件
[编辑] 参看
[编辑] 参考文献
- ^ Mandelbrot, B.B.. The Fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman and Company.. 1982. ISBN 0-7167-1186-9.
- ^ Briggs, John. Fractals:The Patterns of Chaos. London : Thames and Hudson, 1992.. 1992: 148. ISBN 0500276935, 0500276935.
- ^ Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, Ltd.. 2003: xxv. ISBN 0-470-84862-6.
- ^ Applications [2007-10-21].
- Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
- Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
- Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
- 刘华杰. 2000. 芒德勃罗:沿着博物学传统走来,见:《以科学的名义》,福州:福建教育出版社.
- 刘华杰. 1997. 分形艺术,长沙:湖南科学技术出版社.