python实现离散傅里叶变换

一、非周期信号的表示：离散时间博里叶变换

1.1、离散时间傅里叶变换的导出

1、 离散时间傅里叶变换对(要清楚推导过程)

1. X(e^jw)称为离散时间傅里叶变换，这一对式子就是离散时间傅里叶变换对。
2. 上式称为综合公式，下式称为分析公式。

2、离散时间傅里叶变换和连续时间情况相比具有许多相似之处。两者的主要差别在于离散时间变换X(e^jw)的周期性和综合公式中的有限积分区间。

例一：

例二：

例三：

1.2、关于离散时间博里叶变换的收敛问题

1、在信号为无限长的情况下，必须考虑下式

中无穷项求和的收敛问题。如果x[n]是绝对可和的，即

或者，如果这个序列的能量是有限的，即

那么就一定收敛。2、下式

的积分是一个有限的积分区间内进行的，因此不存在收敛问题。

二、周期信号的傅里叶变换

1、考虑如下信号

x[n]的傅里叶变换正是如下冲激串

2、考虑一个周期序列x[n]，周期为N，其傅里叶级数为

这时，傅里叶变换就是

这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从他的傅里叶系数得到。

三、由线性常系数差分方式表征的系统

1、对于一个线性时不变系统而言，其输出y[n]和输入x[n]之间的线性常系数差分方程一般具有如下形式：

此性式的差分方程一般称为N阶差分方程。

有两个方法来确定H(ejw)
①第一种是利用复指数是线性时不变系统特征函数来求。

②第二种是利用离散时间傅里叶变换的卷积，线性和时移性质来求。

2、设X(e^jw)、Y(e^jw)和H(e^jw)分别是输出x[n]、输出y[n]和单位冲脉冲响应h[n]的傅里叶变换，那么离散时间傅里叶变换的卷积性质就意味着有

两边应用傅里叶变换，并利用线性和时移性质，可得

或等效为