倒数求和python 倒数求和不等式

文章目录

• 10.导数数列不等式

• （1）核心原理

• （1-1）和式放缩
• （1-2）积式放缩
• （1-3）等比放缩

• （2）练习

• P r a . 10.1 Pra.10.1 Pra.10.1
• P r a . 10.2 Pra.10.2 Pra.10.2
• P r a . 10.3 Pra.10.3 Pra.10.3
• P r a . 10.4 Pra.10.4 Pra.10.4[积式放缩]
• P r a . 10.5 Pra.10.5 Pra.10.5[等比放缩]

10.导数数列不等式

（1）核心原理

导数数列不等式的题目一般是第一小问证明一个导数恒等式，这种题目一般比较简单，直接求导即可证明。第二问是利用第一问的结论证明一个数列不等式。

[注意]：一般要用到第一问结论，不要凭空证明。

（1-1）和式放缩

一般来说，导数数列不等式左侧是数列形式，右侧是和时，即形如：
$a_1+a_2+...+a_n<f(n)$
考虑到左侧是求和形式，右侧如果也是求和形式，就等价于证明两个数列的前$n$项和的大小关系。

证明这个不等式，考虑证明更强的一个不等式，即：

证明左侧数列每一项都小于或者大于右侧数列的对应项

这便是所谓的和式放缩了。

核心问题又来了：如何求出$f(n)$对应的通项公式？

其实很简单，那便是：

• $f(0)=0$时，右侧$b_n=f(n)-f(n-1)$
• $f(0)\neq 0$时，右侧

$b_n=\left\{ \begin{aligned} &f(1),&n=1\\ &f(n)-f(n-1),&n\geq2 \end{aligned} \right.$

（1-2）积式放缩

同理，设要证明的是形如：
$a_1a_2...a_n<f(n)$
把左右两侧看成两个数列乘积的形式，一般要求两侧对应的数列每一项均正。

考虑到左侧是求积形式，右侧如果也是求积形式，就等价于证明两个数列的前$n$项积的大小关系。

证明这个不等式，考虑证明更强的一个不等式，即：

证明左侧数列每一项都小于或者大于右侧数列的对应项

右侧数列通项为：

• $f(0)=1$时，右侧$b_n=\frac {f(n)}{f(n-1)}$
• $f(0)\neq 1$时，右侧

$b_n=\left\{ \begin{aligned} &f(1),&n=1\\\\ &\frac{f(n)}{f(n-1)},&n\geq2 \end{aligned} \right.$

[补充] 事实上对积式放缩两侧取对数即得和式放缩，这也是要求每一项均正的本质。

（1-3）等比放缩

所谓的等比放缩，即证明形如和式放缩：
$a_1+a_2+...+a_n<f(n)$
我们能够证明：
$\frac{a_{n+1}}{a_n}<q(n\in\N_+)~~~~[一般0<q<1]$
从而：
$\left\{ \begin{aligned} &a_2<a_1q\\ &a_3<a_1q^2\\ &......\\ &a_n<a_1q^{n-1} \end{aligned} \right.$
所以：
$\begin{aligned} a_1+a_2+...+a_n&<a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}\\ &=a_1(1+q+q^2+...)\\ &=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\\ &<\frac{a_1}{1-q} \end{aligned}$
根据这个结果进行后续的证明即可。

（2）练习

$Pra.10.1$

已知函数$f(x)=x-\frac 1 x -a\ln x$

（1）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$以及$f(x)$的极值；

（2）①若$x \geq 1$时，$f(x) \geq 0$恒成立，求$a$范围；

②证明：当$n \in N_+$时，
$\ln^22+\ln^2 \frac 3 2 +...+\ln^2 \frac {n + 1}n < \frac n {n + 1}$

• $Solution$：（1）$a=2$；（2）见下述证明

考虑到$a=2$时有：
$x-\frac{1}{x}-2\ln x\geq0(x\geq1)$
注意到右侧$f(0)=0$，左右侧通项公式分别为：
$a_n=\ln^2\frac{n+1}{n},b_n=\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n(n+1)}$
采用和式放缩，加强证明$a_n\leq b_n$即可，不妨令：
$t=\frac{n+1}{n}>1$
等价于证明：
$\ln ^2t\leq t + \frac1 t -2,t>1$
这是显然的，由已证明的不等式有：
$\ln x^2\leq x-\frac1 x$
使用$\sqrt x$代替$x$可得：
$\ln x\leq \sqrt x-\frac{1}{\sqrt x}(x\geq1)$
两侧均为正数，平方得：
$\ln^2 x\leq x+\frac1 x-2(x\geq1)$
这便是要证明的，证毕。

$Pra.10.2$

已知函数$f(x)=ax+bx^{-1}+c(a>0)$在点$(1,f(1))$的切线方程为$y=x-1$.

（1）若$f(x)>\ln x$在$[1,+\infty)$恒成立，求$a$的取值范围.

（2）求证：
$\sum\limits_{i=1}^n\frac 1 i>\ln(n+1)+\frac{n}{2(n+1)}(n\in \N_+)$

• $Solution$：第一问$a\geq \frac1 2$，第二问易证，略。

$Pra.10.3$

已知函数$f(x)=x-\ln(x+a)(a>0)$的最小值为$0$.

（1）求$a$；

（2）对$\forall x\in[0,+\infty),f(x)\leq kx^2$，求$k_{\min}$；

（3）求证：
$\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{2}{2i-1}-\ln(2n+1)<2,n\in \N_+$

• $Solution$：$a=1,k_{\min}=\frac 1 2$

证明题把左侧看成一个新数列，通项公式为：
$a_n=\frac {2}{2n-1}-\ln\frac{2n+1}{2n-1}$
第二问可得：
$x-\ln(x+1)\leq \frac 1 2x^2$
考虑到：
$\ln\frac{2n+1}{2n-1}=\ln(1+\frac{2}{2n-1})$
用$\frac 2 {2n-1}$替代$x$，可得：
$a_n<\frac{2}{(2n-1)^2}<\frac{2}{(2n-3)(2n-1)},when~ n\geq2$
裂项求和证明小于$2$即可，略。

$Pra.10.4$[积式放缩]

已知函数$f(x)=e^x-ex$.

（1）求$f(x)$的最小值；

（2）求证：
$e^{1+\frac 1 2+\frac 1 3+...+\frac 1 n}>n+1$

• $Solution$：$\min =0$，直接积式放缩即可。

$Pra.10.5$[等比放缩]

已知函数$f(x)=e^x+ax$.

（1）若$f(x)\geq 1$在$x\geq 0$时恒成立，求$a$的取值范围.

（2）求证：
$(\frac{n-1}{n})^n+(\frac{n-2}{n})^n+...+(\frac 1 n)^n<\frac{1}{1-e^{-1}}$

• $Solution$：$a\geq -1$，

通项公式为：
$a_k=(\frac{n-k}{n})^n,k=1,2\cdots,n-1$
有：
$\frac{a_k}{a_{k-1}}=(\frac{n-k}{n-k+1})^n=(1-\frac{1}{n-k+1})^n$
第一问证明了：
$e^x\geq x+1$
用$-\frac {1}{n-k+1}$替代$x$，于是：
$(1-\frac 1{n-k+1})^n\leq e^{{\frac{-n}{n-k+1}}}$
显然右侧是关于$k$的减函数，$k=1$时取最大值，于是：
$(1-\frac 1{n-k+1})^n\leq e^{{\frac{-n}{n-k+1}}}\leq e^{-1}$
于是：
$\begin{aligned} &a_2\leq a_1e^{-1}\\ &a_3<a_2e^{-1}<a_1e^{-2}\\ &\cdots\\ &a_n<\cdots a_1e^{-(n-2)} \end{aligned}$
所以：
$\begin{aligned} &a_1+a_2+...+a_n<a_1+a_1e^{-1}+...+a_1e^{-(n-2)}\\ &=a_1(1+e^{-1}+...+e^{-(n-2)})\\ &<1\cdot[\frac{1-e^{-(n-2)}}{1-e^-1}]\\ &<\frac{1}{1-e^{-1}} \end{aligned}$