基本不等式@平均值不等式@双勾函数不等式

文章目录

• 基本不等式

• 基本齐次不等式
• 一次形式👺
• 基本不等式
• 拓展

• 拓展1
• 拓展2

• 算数平均数和几何平均数不等式
• 应用
• 恒等变形

• 双勾函数不等式

• 导数
• 函数单调性🎈

• 求解过程

• 极值点和极值
• 函数单调性的简单证明🎈

基本不等式

基本齐次不等式

• 设$a,b\in\mathbb{R}$,则$a^2+b^2\geqslant{2ab}$,当且仅当$a=b$时等号成立
• 证明:

• $a^2+b^2\geqslant{2ab}$ $\Leftrightarrow$ ${a^2+b^2-2ab\geqslant{0}}$ $\Leftrightarrow{(a-b)^2\geqslant{0}}$
• 最后一个不等式的成立表明了基本不等式的成立

一次形式👺

• $a^2+b^2\geqslant{2ab}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\geqslant{2\sqrt{ab}}$,即$a+b\geqslant{2\sqrt{ab}}$

基本不等式

• 基本不等式(平均值不等式):若$a,b>0$,则$\frac{a+b}{2}\geqslant{\sqrt{ab}}$,当且仅当$a=b$时等号成立
• 证明:

• 方法0:

• $a^2+b^2\geqslant{2ab}$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2\geqslant{2\sqrt{ab}}$ $\Leftrightarrow$ $a+b\geqslant{2\sqrt{ab}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a+b}{2}\geqslant{\sqrt{ab}}$

• 方法1:

• $\frac{a+b}{2}\geqslant{\sqrt{ab}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{1}{2}(a+b-2\sqrt{ab})\geqslant{0}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqslant{0}$
• 最后一个不等式显然成立,同时证明了原不等式成立

• 方法2:

• 本方法对基本不等式两边同时加上$2ab$项
• $a^2+b^2\geqslant 2ab$ $\Leftrightarrow$ $a^2+b^2+2ab\geqslant{4ab}$ $\Leftrightarrow$ $(a+b)^2\geqslant{4ab}$ $\Leftrightarrow$ $a+b\geqslant{2\sqrt{ab}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a+b}{2}\geqslant{\sqrt{ab}}$

• 这个不等式中,$\frac{a+b}{2}$称为算数平均值;$\sqrt{ab}$称为几何平均值
• 基本不等式是证明许多不等式的出发点,因此称为基本不等式

拓展

拓展1

• 定理:若$a,b,c>0$,$a^3+b^3+c^3\geqslant{3abc}$,当且仅当$a=b=c$时等号成立
• 证明:

• 需要用到:

• $a^3+b^3+c^3-3abc$=$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$
• $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$=$\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ $\geqslant{0}$

• $a^3+b^3+c^3\geqslant{3abc}$ $\Leftrightarrow$ $a^3+b^3+c^3-{3abc}\geqslant{0}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ $\geqslant{0}$
• 最后一个不等式的成立证明了本定理

拓展2

• 定理:若$a,b,c>0$,则$\frac{a+b+c}{3}\geqslant{\sqrt[3]{abc}}$,当且仅当$a=b=c$时等号成立
• 证明:

• $\frac{a+b+c}{3}\geqslant{\sqrt[3]{abc}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]b)^3+(\sqrt[3]c)^3}{3}\geqslant{\sqrt[3]{abc}}$ $\Leftrightarrow$ $(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]b)^3+(\sqrt[3]c)^3\geqslant{3\sqrt[3]{abc}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{a+b+c}{3}\geqslant{\sqrt[3]{abc}}$

算数平均数和几何平均数不等式

• 对于$n$个正数,可以定义它们的算数平均数$\overline{p}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i$和几何平均数$q=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{a_i}}$,那么有$p\geqslant{q}$;当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时等号成立

应用

• 所有面积为1的矩形中,正方形拥有最小周长
• 设矩形的长宽分别为$a,b$,且$ab=1$,周长$C=2(a+b)$

• 根据基本不等式:$\frac{a+b}{2}\geqslant{\sqrt{ab}}$,即$2(a+b)\geqslant{4\sqrt{ab}}$,所以$C\geqslant{4}$,当且仅当$a=b$时,取等号(最小值)
• 所以正方形拥有最小周长,这个最小值为4

恒等变形

• 两边同时$+(a^2+b^2)$,可以推得$\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
• 更加推广的,由均值不等式链:从小到大口诀调几算方

• $\frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}} \leqslant\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} \leqslant\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}^2}{n}}\\ n \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}} \leqslant\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n{x_i}} \leqslant\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i} \leqslant\sqrt{\frac{1}{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}^2}}$

双勾函数不等式

• 对勾函数 (wikipedia.org)
• 在数学中，对勾函数，又名双勾函数、耐克函数、对号函数，
• 表达式形式:${f(x)=ax+{\frac {b}{x}}}$,${ab\geqslant 0}$

• 函数定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
• 值域为${\displaystyle (-\infty ,-2{\sqrt {ab}}]\cup [2{\sqrt {ab}},\infty )}$
• 其图像是分别以$y$轴和${\displaystyle y=ax}$为渐近线的两支双曲线。
• 当${\displaystyle a\geq 0,b\geq 0}$时，其图像在第一象限形状就是个像耐克的品牌徽标一样，因此得名耐克函数。

• Note:若$ab<0$,则$f(x)$的单调性要简单的多,在定义域范围内,单调性都是一致的,尽管$f(x)$不连续
• 典型对勾函数${\displaystyle f(x)=x+{\frac {1}{x}}}$($a=b=1$)
• 一次项作1:作恒等变形:$f(x)=ax+\frac{b}{x}=a(x+\frac{b/a}{x})$

• 问题转换为对$t(x)=x+\frac{\lambda}{x}$,其中$\lambda>0$的讨论
• 而$f(x)=a\cdot t(x)$,可知,$a>0$于$a<0$时具有相反的单调性

导数

• $f$
• 令$f$,$x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}$
• 结合$f(x)$的定义域$(x\neq0)$,划分4个区间讨论单调性:

• $(-\infin,-\sqrt{\frac{b}{a}}]$
• $[-\sqrt{\frac{b}{a}},0)$
• $(0,\sqrt{\frac{b}{a}}]$
• $[\sqrt{\frac{b}{a}},+\infin)$

• 结合$ab$与0的大小关系,需要讨论两边上述区间内的单调性

函数单调性🎈

• $a,b>0$时

• 在${\displaystyle \left(-\infty ,-{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]}$单调递增,${\displaystyle \left[-{\sqrt {\frac {b}{a}}},0\right)}$单调递减，
• 在${\displaystyle \left(0,{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]}$单调递减,$\left[{\sqrt {\frac {b}{a}}},+\infty \right)$单调递增。

• $a,b<0$时

• 在${\displaystyle \left(-\infty ,-{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]}$单调递减,${\displaystyle \left[-{\sqrt {\frac {b}{a}}},0\right)}$单调递增，
• 在${\displaystyle \left(0,{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right]})单调递增，$${\displaystyle \left[{\sqrt {\frac {b}{a}}},+\infty \right)}$单调递减。

求解过程

• 设$a,b>0$,$x<-\sqrt{\frac{b}{a}}<0$,求$y=a-bx^{-2}$和0的大小关系

• $y$中包含了负指数,考虑先判断$x^{-2}$的大小;
• 由$x<-\sqrt{\frac{b}{a}}<0$得$-x>\sqrt{\frac{b}{a}}>0$(转换到正数范围更便于讨论)
• 由正数范围内不等式负整数次方性质:$(-x)^{-2}<(\sqrt{\frac{b}{a}})^{-2}$化简即$x^{-2}<(\frac{b}{a})^{-1}=\frac{a}{b}$
• 对上面的不等式两边乘以$-b<0$,得$-bx^{-2}>-a$,再在两边加上$a$,得$a-bx^{-2}>0$
• 即$y>0$
• 这就是说,$x\in(-\infin,-\sqrt{\frac{b}{a}}]$内函数$f(x),(a,b>0)$单调递增

• 类似得,可以分别求的余下的集中情况

极值点和极值

• 由上述分析,极值点在$x=\pm{\sqrt\frac{b}{a}}$
• $f(\sqrt{\frac{b}{a}})=a\sqrt\frac{b}{a}+\frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}}$=$\sqrt{\frac{a^2b}{a}}+\sqrt{ab}=2\sqrt{ab}$
• $f(-\sqrt{\frac{b}{a}})$=$-2\sqrt{ab}$
• 以典型的$f(x)=x+\frac{1}{x}$为例,其两个顶点分别是$(1,2),(-1,-2)$
• 在$x>0$的范围内,可以联系基本不等式:$x+\frac{1}{x}\geqslant{2\sqrt{x\cdot{\frac{1}{x}}}}=2$,取等条件是$x=\frac{1}{x}$,即$x^2=1$,取正数范围内正跟($x=1$)

函数单调性的简单证明🎈

• 对${\displaystyle f(x)=x+{\frac {a}{x}}(a>0)}$，
• 潜在的极值点$\pm{\sqrt{\frac{a}{1}}}=\pm\sqrt{a}$变为
• 任取${0<x_{1}<x_{2}\leqslant {\sqrt {a}}}$，则有

• $\begin{cases} x_{1}-x_{2}<0\\ 0<x_1x_2<a \end{cases}$

• $\therefore f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}+{\frac {a}{x_{1}}}-x_{2}-{\frac {a}{x_{2}}}$

• =${\frac {(x_{1}-x_{2})(x_{1}{\cdot }x_{2}-a)}{x_{1}{\cdot }x_{2}}}>0$，即${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$

• ${\displaystyle \therefore f(x)}$在${\displaystyle (0,{\sqrt {a}}]})$上单调递减。
• 同理$f(x)$在${\displaystyle [{\sqrt {a}},+\infty )}$上单调递增；
• 在${\displaystyle (-\infty ,-{\sqrt {a}}]})$上单调递增；${\displaystyle \left[-{\sqrt {a}},0\right)}$上单调递减。