目录
不同表述形式
有限形式
测度与概率形式
在概率论中的广义形式
不等式证明
有限形式
测度和概率形式
概率论中的广义形式
不等式应用
在概率密度函数中的形式
随机变量的偶次矩
其他有限形式
统计物理
信息论
Rao–Blackwell定理
在数学中，琴生不等式（Jensen Inequality）以丹麦数学家 Johan Jensen 的名字命名，又称詹森不等式。它将积分的凸函数的值与凸函数的积分联系起来，Jensen在 1906 年证明了这一点。
鉴于其普遍性，不等式根据上下文以多种形式出现，最简单的不等式表示均值的凸变换小于或等于凸变换后的均值。而凹变换的情况正好相反。
Jensen不等式概括了凸函数的割线位于函数图上方的陈述，这是Jensen对两点的不等式：割线由凸函数的加权均值组成（对于 t∈[0,1]）：
函数的图形是加权均值的凸函数:
因此，Jensen 不等式是 :
在概率论的语境中，一般用以下形式表述：如果 X 是随机变量且 φ 是凸函数，则：
不等式两边的差
，称为 Jensen 间隙（Jensen gap）。
不同表述形式
Jensen 不等式的经典形式涉及多个数字和权重。 不等式可以用测度论的语言或（等价的）概率来表述。 在概率定义中，不等式可以进一步推广到其全部强度（full strength）。
有限形式
对于一个实凸函数
，定义域中的数字
，和正权重
，Jensen不等式可以表示为：
如果
为凹函数，则：
当且仅当
时等号成立，或者
为线性函数。作为特殊情况，当正权重
都相等时，上述等式可以表示为：
琴生不等式可以用作证明一般情况的平均不等式：
其中前面两个取
，后面一个取
。一个常见的应用是将 x 作为另一个变量（或一组变量）t的函数
。 所有这些都直接适用于一般连续情况：权重
被非负可积函数f(x)代替，例如概率分布，并且总和被积分代替。
测度与概率形式
令
是一个概率空间，
。如果g是一个实数函数，且对于
可积，另外如果
是一个在实线域上是凸函数，则：
在实分析中，我们可能需要对下式做一个估计：
其中
，
是非负勒贝格积分函数。在这种情况下，勒贝格测度[a,b]不用是统一的。但是，通过作代换积分，可以重新调整区间以使其具有度量单位，那么可以应用Jensen不等式得到：
通过简单的符号变化，可以在概率论中等效地陈述相同的结果。 令
为概率空间，X为可积实值随机变量，φ为凸函数。 则：
在这个概率定义中，测度μ的目的是作为概率P，关于μ作为期望值的积分，以及作为随机变量X的函数g。
注意等式成立当且仅当 φ 是某个凸集A上的线性函数，使得
。
在概率论中的广义形式
更一般地，设T为实拓扑向量空间，X为T值可积随机变量。在这个一般设置中，可积意味着在T中存在一个元素E[X]，使得对于T的对偶空间（dual space）中的任何元素 z：
，
。然后，对于任何可测凸函数 φ 和F的任何子 σ-代数
：
这里
代表以 σ-代数
为条件的期望。当拓扑向量空间T是实轴，并且
是平凡的σ-代数 {∅, Ω}（其中∅是空集，Ω是样本空间），这个一般性陈述简化为以前的陈述。
一种锐化和概括的形式
然后：
不等式证明
Jensen 不等式可以通过多种方式证明，并且将提供对应于上述不同陈述的三种不同证明。
有限形式
测度和概率形式
概率论中的广义形式
不等式应用
在概率密度函数中的形式
假设
是实线的可测子集，f(x)是一个非负函数：
在概率论中f(x)是概率密度函数。利用Jensen不等式的加权形式，可以写出f(x)形式下的公式。
如果g是任何实值可测函数且
在g的范围内是凸的，那么：
如果g(x)=x，那么这种不等式的形式可以简化为一个常用的特例：
这个结果一般被应用于变分贝叶斯方法（Variational Bayesian methods）。
随机变量的偶次矩
如果
，X是一个随机变量，g是一个凸函数：
二阶导数大于0，为凸函数，于是有：
特别的，如果X的偶次矩是有限的，X具有有限的均值。这个结论可以推广为：X的
次矩是有限的。
其他有限形式
统计物理
在统计物理中考虑一个指数型的凸函数：
其中期望值为某个分布下的随机变量X的值。
上述公式证明比较简单，首先：
然后利用已有公式
：
代入前式得：
信息论
如果p(x)是X的概率密度，q(x)是另一个概率密度，对随机变量Y(X)=q(X)/p(X)应用琴生不等式，则
因而：
这个结果被称为吉布斯不等式（Gibbs' inequality）
它表明当基于真实概率p而不是任何其他分布q分配代码时，平均消息长度最小。非负的数量称为q与p的Kullback-Leibler散度。由于-log(x)是x>0的严格凸函数，因此当p(x)几乎处处等于q(x)时，等式成立。
Rao–Blackwell定理
