扩展：多路增广
一般的,在执行增广路算法时,都是先用BFS或DFS从源到汇找到一条增广路,记录下应修改的流量,然后再顺着路倒回去增广.反复这个过程直到增广路找不到了为止.
显然的,我们做了很多无用功,假设有两条很长的增广路,前面大部分都是重叠的,只是在最后关头分了个岔,而程序却把前面很长的路走了两次.
为什么要这样?
不妨把两条增广路合并起来,不止是两条,所有的增广路都可以按其前缀合并起来,而形成一棵增广树.找增广树可以用DFS,正如生成搜索树一样.
简而言之,对于当前的每一个结点记录一个可提供的最大流量,源点的可供流量显然是无穷大,当推到下一个点时,最大流量取边的容量和上个点提供的最大流量的较小值.
当到达汇点时,自然DFS开始回朔,这时按当前点的已用流量增广当前点与他父亲相连的边,同时将增广值累加到他父亲的已用流量上,并在他父亲的可提供流量上减掉这个值,以便在搜索他父亲剩下的儿子时,让所有儿子的已用流量总和不大于父亲的可提供流量,不然就出错了.
我们按照以下步骤做:
search node(available)
{
1.得到node的可提供流量available
2.search node's all son(可提供流量)
{
inc(已用流量,当前儿子实际增广的流量)
dec(可提供流量,<同上>)
}
3.用得到的已用流量的值增广边(node-node's father)
4.return 边的增广量 到 node'fahter
}每进行一次以上步骤,我们就完成了一次多路增广,并且返回了一个值到源点,即DFS的根.这个值表示本次操作中将流量扩大了多少.重复操作直到返回值为0.得到最大流的数值即累加每次的返回值.
SAP(最短增广路算法) 最大流模板
#include <iostream>
#include <queue>
#define msize 1024 //最大顶点数目
using namespace std;
int d[msize];
//标号
int r[msize][msize];
//残留网络，初始为原图
int num[msize];
//num[i]表示标号为i的顶点数有多少
int pre[msize];
int n,m,s,t;
//m个顶点，n条边，从源点s到汇点t
void ini_d()
//BFS计算标号，汇点t标号为0
{
int k;
queue<int>Q;
memset(d,1,sizeof(d));
memset(num,0,sizeof(num));
Q.push(t);
d[t]=0;
num[0]=1;
while (!Q.empty())
{
k=Q.front(),Q.pop();
for (int i=0;i<m;i++)
{
if (d[i]>=m&&r[i][k]>0)
{
d[i]=d[k]+1;
Q.push(i);
num[d[i]]++;
}
}
}
}
int findAlowArc(int i)
//从i出发寻找允许弧
{
int j;
for (j=0;j<m;j++)if
(r[i][j]>0&&d[i]==d[j]+1)
return j;
return -1;
}
int reLable(int i)
//重新标号
{
int mm=INT_MAX;
for (int j=0;j<m;j++)
if (r[i][j]>0)
mm=min(mm,d[j]+1);
return mm==INT_MAX?m:mm;
}
int maxFlow(int s,int t)
//从源点s出发的最大流
{
int flow=0,i=s,j;
int delta;
//增量
memset(pre,-1,sizeof(pre));
while (d[s]<m)
{
j=findAlowArc(i);
if (j>=0)
{
pre[j]=i;
i=j;
if (i==t)
//更新残留网络
{
delta=INT_MAX;
for
(i=t;i!=s;i=pre[i])=min(delta,r[pre[i]][i]);
for
(i=t;i!=s;i=pre[i])[pre[i]][i]
-= delta, r[i][pre[i]]
+= delta;
flow += delta;
}
}
else
{
int x=reLable(i);
//重新标号
num[x]++;
num[d[i]]–;
if (num[d[i]]==0)
return flow;
//间隙优化
d[i]=x;
if (i!=s) i=pre[i];
}
}
return flow;｝
FF算法
分为三个步骤，首先寻找一条增广路（如果没有增广路，则返回最大流），同时保存路径；其次，对路径上的流量求最小值，记为min；最后根据路径修改网络，对于前向边，减去最小值，对于后向边，加上最小值，或者直接修改容量。
增广路：从源点s到汇点t的一条有向路径，如果从源点开始不可以到汇点，那么没有增广路。
保存：用一个数组保存，一般是采用父亲表示法（父链接），保存当前节点的父亲， 寻找的时候采用的是迭代的方式实现求最小值以及修改原网络。
寻找增广路，采用bfs的方式。详细算法如下：
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 210;
const int INF = 0x7FFFFFFF;
int n,m,map[N][N],path[N],flow[N],start,end;
queue<int> q;
int bfs(){
int i,t;
while(!q.empty()) q.pop(); //清空队列
memset(path,-1,sizeof(path));
//保存父亲的数组，初始化为-1
path[start]=0,flow[start]=INF;
//flow[] 保存当前的最小容量
q.push(start);
while(!q.empty()) {
t=q.front();
q.pop();
if(t==end)
break; //找到一条增广路
for(i=1;i<=m;i++) {
if(i!=start && path[i]==-1 && map[t][i]) {
flow[i]=flow[t]<map[t][i]?flow[t]:map[t][i];
q.push(i);
path[i]=t;
}
}
}
if(path[end]==-1) return -1;
//如果汇点的父亲等于-1，说明不能到达最后。
return flow[m]; //一次遍历之后的流量增量，min
}
int Edmonds_Karp(){
int max_flow=0,step,now,pre;
while((step=bfs())!=-1) { //找不到增路径时退出
max_flow+=step;
now=end;
while(now!=start) {
pre=path[now];
map[pre][now]-=step; //更新正向边的实际容量
map[now][pre]+=step; //添加反向边
now=pre;
}
}
return max_flow;
}
int main(){
int i,u,v,cost;
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF) {
memset(map,0,sizeof(map));
for(i=0;i<n;i++) {
scanf("%d %d %d",&u,&v,&cost);
map[u][v]+=cost; //not just only one input
}
start=1,end=m;
printf("%d\n",Edmonds_Karp());
}
return 0;
}主要分为模块三个：
模块1：
int FF()
{
while(有增广路){
更新原图的前向边（减min），后向边（+min），同时保存最大流的增量值。
}
返回最大流值。
}模块2：
int agument_path()
{
源点进队；
while（队列不空）
{ 出队；
如果达到汇点，则结束；
for(i=1;i<=m;i++){
//搜索整个图的邻接边
如果未保存，且边不为0（可增的量），且不是开始节点
进队，保存，求最小值
}
如果汇点的父亲没有，说明没有增广路，返回-1；
返回最小值；
}模块3：
building{
for(i=0;i<n;i++){
scanf("%d %d %d",&u,&v,&cost);
map[u][v]+=cost; //not just only one input}
最大流的建图思想：对于每条边，直接累加其容量就可以了。
