（注 ：需理解 有限增量定理 即拉格朗日中值定理 ：https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B8%AD%E5%80%BC）
第一次见到泰勒展开式的时候，我是崩溃的。泰勒公式长这样：
好奇泰勒是怎么想出来的，我想，得尽量还原公式发明的过程才能很好的理解它。
首先得问一个问题：泰勒当年为什么要发明这条公式？
因为当时数学界对简单函数的研究和应用已经趋于成熟，而复杂函数，比如：
这种一看就头疼的函数，还有那种根本就找不到表达式的曲线。除了代入一个x可以得到它的y，就啥事都很难干了。所以泰勒同学就迎难而上！决定让这些式子统统现出原形，统统变简单。
让我们沿着泰勒同学（假装泰勒是这么想的）的思路来：
要让一个复杂函数变简单，能不能把它转换成别的表达式？比如函数
，怎么看都看不出思路，怎么办呢？我们先不要一口吃掉它，可以先从它最小的部分算起，比如说一个点
。可以得到：
。暂时看不出有什么规律。那就继续增大研究的对象，比如说
的领域
，
。可以得到：
，其中，
，
。好像还是看不出什么规律？然鹅，聪明的泰勒早以看穿一切。因为
，所以原式可以化为：
。所以泰勒想是不是这样：
，即
。嗯先假设是这样，然后泰勒同学决定验证一下。先求个导试试：
。对了，泰勒同学很激动！继续求：
，咦，不对了。那说明有了一些问题。仔细分析一下问题在哪呢？我们可以尝试把
拆开来：
，然后分析他们之间有什么共性。让我们对
进行求导看看：一阶导：
，嗯多了个
。二阶导：
，多了
。好像有点规律了，
......
m阶导：
阶导：0。
是一个常数，所以对
求导就是0了。这里规律很明显了，m阶导以后都是0！但是m阶导以前呢？还是蛮复杂的，不过不用担心，因为
，即
，所以m阶导以前也都是0，而m阶导就是
。perfect！这样就很清晰了：对
求m阶导为
。但是我们想要的值是
，那就把给m!除掉！即乘于一个
，所以
，证明完毕。泰勒同学很开心！
