在数学上，变量之间的关系用确定的函数来表示是比较常见的一种方式。然而在现实应用中，还存在许多变量之间不能用确定的函数关系来表示的例子。本节将介绍变量之间存在线性相关关系的模型：线性回归模型。下面先介绍简单的一元线性回归，进而再拓展到较为复杂的多元线性回归。最后给出线性回归模型的Python实现方法。
所谓一元线性回归，就是自变量和因变量只有一个的线性相关关系模型。以下通过现实生活中的例子引入，再而谈及回归模型、拟合优度等相关概念。
1.引例：
变量之间的相互关系，主要有三种：
（1）确定的函数关系 Y=f（X）
（2）不确定的统计相关关系
（3）没有关系 不用分析
那么身高预测问题：子女的身高（Y）与父母的身高（X）就属于第2种情况，子女身高与父母身高是相关的，但并不具有确定的函数关系。
2.一元回归模型：
，其中Y因变量（随机变量），x为自变量（确定的变量），β为模型系数 。每给定一个x，得到Y的一个分布。
3.一元回归方程：
对回归模型两边取数学期望，得到回归方程如下：
，每给定一个x，便有Y的一个数学期望值与之对应，他们是一个函数关系。 一般地，通过样本观测数据，可以估计出以上回归方程的参数，其一般形式为：
，其中
为对期望值及两个参数的估计。
4.一元回归方程参数估计
对总体(x,Y)进行n次独立观测，获得n个样本观测数据：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，将其绘制在图像上，如下图所示：
如何对这些观测值给出最合适的拟合直线呢？——最小二乘法，其基本思想是真实观测值与预测值（均值）总的偏差平方和最小，即
求解以上最优化问题，即得到：
，其中
。
5.一元回归方程拟合优度
经过前面的步骤我们获得了线性回归方程，那么这个回归方程的拟合程度如何？能不能利用这个方程进行预测？可以通过拟合优度来进行判断。在介绍拟合优度概念之前，先介绍几个概念：总离差平方和、回归平方和、残差平方和，其计算公式分别如下：
R方称为拟合优度（判定系数），值越大表明直线拟合程度越好。
