R语言多项式变量

实验目的

通过实验加深理解非线性方程求根的各个方法，掌握Matlab内置求根函数的使用方法，学会编写重点求根方法的Matlab程序。

实验原理

Matlab有内置函数直接求解方程的数值解。多项式求根命令
>> roots§
其中，输入p为多项式系数组成的向量，输出为多项式所有实数和复数根。
Matlab中还有求一般非线性方程$f\left( x \right) = 0$的实数根的命令
>> x = fzero(‘fun’,x0)
其中，输入fun为非线性函数$f\left( x \right)$,x0为根的估计值,x0也可以用含根区间$\left[ {a,b} \right]$,代替（注意$\left[ {a,b} \right]$的函数值要求异号）。
牛顿迭代公式${x_{n + 1}} = {x_n} - {{f({x_n})} \over {f$

实验内容与步骤

1. 求方程${x^2} + 4\sin \left( x \right) = 25$在区间$[ - 2\pi ,2\pi ]$,内的所有实数根.先画图判断根的情况,再利用以上介绍的fzero法,二分法,牛顿迭代法分别求解，一个方法求一个解。
   原式子即求解${x^2} + 4\sin x - 25 = 0$的根。通过画图分析，它在%$[ - 2\pi ,2\pi ]$内的根落在$[ - 6, - 4]$,和$[4,6]$之间
   fzero法求解它的两个根为
   ${x_1} = {\rm{ - 4}}{\rm{.586052690568049,}}{x_2}{\rm{ = 5}}{\rm{.318580248846235}}$
   二分法求解它的两个根为
   ${x_1} = {\rm{ - 4}}{\rm{.586425781250000,}}{x_2}{\rm{ = 5}}{\rm{.318847656250000}}$
   迭代次数${k_1} = {k_2} = 11$
   牛顿法求解它的两个根为
   ${x_1} = {\rm{ - 4}}{\rm{.586052690440867}},{x_2} = {\rm{5}}{\rm{.318580252569003}}$
   迭代次数${k_1} = {k_2} = 2$
2. 编写不动点迭代法的matlab程序，利用编写的程序求方程
   $\sin x + 1 = {{{x^2}} \over 2}$在区间$[ - 4,4]$内的所有实数根。
   由于将方程写为$x = \arcsin ({{{x^2}} \over 2} - 1)$会超出最大迭代次数,将方程构造为$x = \pm \sqrt {2\sin x + 2}$更好一些。通过画图分析,在$[ - 4,4]$内有两个根,分别位于$[ - 2,0]$和$[ 0,2]$之间。
   先使用fzero求解两个根分别为
   ${x_1} = {\rm{ - 0}}{\rm{.774980814423043}},{x_2} = {\rm{1}}{\rm{.961884246410835}}$
   在$[0,2]$内原方程是,选取初值为1,使用不动点迭代法解得
   ${x_1} = {\rm{1}}{\rm{.96183}}$,迭代次数${k_1} = 5$
   在$[ - 2,0]$内原方程是$x = - \sqrt {2\sin x + 2}$,选取初值为-1,使用不动点迭代法解得${x_2} = {\rm{ - 0}}{\rm{.775443039377297}}$,迭代次数${k_2} = 76$
   erfen.m

function [x,k]=erfen(a,b,e) 
%输入(a,b)为估计的含跟区间,e为误差.
%输出x为方程的数值解,k求解次数.
format long;
k=0;
while abs(b-a)>e  
    if f((a+b)/2)==0
        x=(a+b)/2;  
        return;
    end
    if f(a)*f((a+b)/2)<0  
        b=(a+b)/2;  
    else  
        a=(a+b)/2; 
    end   
    k=k+1;
    disp([k,a,b]);
end  
x=(a+b)/2;

question1_erfen.m

clc
format long
ezplot('x^2+4*sin(x)-25'),grid
%[x1,k1]=erfen(-6,-4,0.001)
[x2,k2]=erfen(4,6,0.001)

question1_fzero.m

clc
format long
ezplot('x^2+4*sin(x)-25'),grid
fzero('x^2+4*sin(x)-25',[-6 -4])
fzero('x^2+4*sin(x)-25',[4 6])

question1_niudun.m

clc
format long
[x2,k2]=ntdd(2,0.0001,100)

ntdd.m

function [x,k]=ntdd(x0,e,N) 
%输入x0为估计的迭代初值,e为规定的误差,N为最大迭代次数.
%输出x数值解,k为迭代次数.
format long;
k=0;x1=x0-h(x0)/dh(x0);
while (abs(x0-x1))>e
    x0=x1;
    x1=x0-h(x0)/dh(x0);
    k=k+1;
    disp([k,x1]);
    if k>N
        return;
    end
end
x=x1;

question2_1.m

clc
syms x;
f=sqrt(2*sin(x)+2);
p0=2;
perror=0.001;
maxK=100;
ezplot('x^2/2-1-sin(x)'),grid
[x,k,Y]=FPM(f,p0,perror,maxK)

question2_2.m

format long
clc
syms x;
%f=-sqrt(2*sin(x)+2);
%f=asin((x^2)/2-1);
f=x*x-3*x+2.3-exp(x);
p0=0.3;
perror=1e-6;
maxK=100;
ezplot('x^2-3*x+2.3-exp(x)'),grid
[x,k,Y]=FPM(f,p0,perror,maxK)

FPM.m

function [p,k,Y]=FPM(f,p0,perror,maxK)
%p0表示迭代初始值
%f表示迭代公式函数
%maxK表示规定的最大迭代次数
%pererr表示允许误差
%k表示最终迭代的次数
%p表示最终迭代的值
%Y用来记录每次迭代过程的迭代值
    format long
    syms x;
    P(1)=p0;
    k=2;
    P(k)=subs(f,x,P(k-1));      %迭代
    while k<=maxK
        err=abs(P(k)-P(k-1));    %err表示相邻的迭代值的差值
        if(err<perror)
            fprintf('迭代%d次即可满足允许误差值退出\n',k-1);
            break;
        end
        k=k+1;
        P(k)=subs(f,x,P(k-1));
    end         %共迭代了k-1次
    if(k-1==maxK) 
        disp("超过最大迭代次数！");
    end
    p=P(k); 
    k=k-1;
    Y=P;
end

f.m

function y=f(x)
y=x*x+4*sin(x)-25;

df.m

function y=df(x)
y=2*x+4*cos(x);