关于本福特定律的简单解释和推导，参见：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/440462854
思考本福特定律，与齐夫定律对照，它们之间似乎可以相互推导，是真的吗？
本福特定律说首数为的概率：
写成连续的形式：
从这个形式上看，它是一个定积分 。设不定积分式为
，则：
积分实际上就是所有首数字概率的积累分布函数，其概率密度函数为一个反比例函数：
从本福特定律的概念上讲，首数字为的概率可以写成两种形式：
- 定积分的形式：
- 概率密度的形式：
连续化是为了拟合微积分计算，回到离散的形式：
换一种写法：
这看起来符合齐夫定律。来看下是不是。
经过了连续～离散变换，连续情况下的反比例形式不能用于离散情况的计算，只能直观理解。现在直接从本福特定律的结论入手，实际计算一下：
设：
快速逼近
，但仅在
取1～9时，
有意义，分别为：
单调递增，计算
和
的值，分别为：
它们相差非常小，可近似为符合齐夫定律。
这是为什么？
通过上述推导，和
是可以相互转换的，只要可以将事情抽象成
的定积分形式，结合概率密度函数和积累分布函数的概念，一定可以通过求导换算成
，后者正好是一个反比例函数。这意味着位标
与函数值
的乘积是一个常数，这是满足齐夫定律的条件。
那么齐夫定律的典型case，城市人口问题是否可以写成类似的形式呢？是可以的。
城市人口来自于外来者的定居(城市没有土著，土著是乡村的概念)，一个人选择哪个城市定居取决于多个维度，列如下：
…
设人们有个城市
可选，它们综合排名如下：
，人们选择定居地时，会在这
个城市中考虑
：
- 若
，则优先考虑
若问是什么初始因素导致了城市规模的初始差异，就要涉及优先依附原则了，这又要牵扯到无标度网络的生长动力学，本文不谈这些，所以直接假设了排名。
几乎每人都会考虑，但
，
可能有人不关心。终于，可以将所有人按照下列方式分类：
- 只考虑
的人。
- 同时考虑
的人。
- 同时考虑
的人。
- 同时考虑
的人。
- 同时考虑
的人。
- …
无论如何，对于任何维度，排名靠前的城市一定被优先考虑。
进行下面的类比：
- 把上述考虑维度
看作自然数集首数概率问题中的个位，十位，百位…
- 把上述待考虑城市
看作自然数集首数概率问题中的
- 把上述待定居人们的分类看作自然数集首数概率问题的个位数，十位数，百位数…
显然可以导出遵循齐夫定律的城市规模分布同样也遵循本福特定律：
- 第
大城市的人口占比：
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。
