空间核密度python代码 poi点 核空间怎么求

文章目录

• 1.线性空间

• 1.1 线性空间的定义
• 1.2 线性空间的性质
• 1.3 线性空间的维数
• 1.4 线性空间的基
• 1.5 基变换与坐标变换

• 1.5.1 基变换：
• 1.5.2 坐标变换：

• 2. 线性子空间

• 2.1 定义
• 2.2 性质
• 2.3 子空间的运算

• 2.3.1 和空间
• 2.3.2 交空间

• 3. 矩阵的值域、核空间

• 3.1 向量张成的空间
• 3.2 矩阵的值域
• 3.3 矩阵的核空间

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1.线性空间

1.1 线性空间的定义

设非空集合$V$，一个数域$K$，$x,y,z \in V$， $k,l\in K$，如果$V$满足加法封闭和数乘封闭，则称$V$为线性空间。

1. 加法封闭： 加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。
2. 数乘封闭： 数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。

1.2 线性空间的性质

1. 零元素唯一
2. 任一元素的负元素唯一
3. 设 数$k,0,1\in K$，向量$x, 0, -x \in V$，有：

• $0x=0$
• $(-1)x=-x$
• $k0=0$
• 若 $kx=0$, 则 $k=0$ 或 $x=0$

1.3 线性空间的维数

线性空间$V$中线性无关向量组所含向量最大个数$n$，称为$V$的维数，记作 $dimV = n$。

$n$ 维线性空间记作$V^n$。

1.4 线性空间的基

$n$维线性空间中，任意$n$个线性无关的向量 $x_1,x_2,...,x_n$，构成该空间的一组基。这n个线性无关的向量称作基向量。

空间中任意一个向量 $x$，即 $x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$ 。
此时，称 $a_1, a_2, ..., a_n$ 为 $x$ 在该基下的坐标，记为$[a_1, a_2, ..., a_n]^T$。

向量$x$在基 $x_1,x_2,...,x_n$：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$

1.5 基变换与坐标变换

1.5.1 基变换：

设 $x_1,x_2,...,x_n$ 是 空间$V^n$ 的旧基，$y_1,y_2,...,y_n$ 是新基。新基可以用旧基表示为
$\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n}$
其中，矩阵$C_{n×n}$为 (旧基到新基的) 过渡矩阵。

1.5.2 坐标变换：

向量$x$在旧基 $x_1,x_2,...,x_n$下的矩阵表示：
$x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1}$
其中 ，$[a_1, a_2, ..., a_n]^T$为 $x$ 在基 $x_1,x_2,...,x_n$下的坐标。

向量$x$在新基$y_1,y_2,...,y_n$下的矩阵表示：
$x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2}$
其中 ，$[b_1, b_2, ..., b_n]^T$为 $x$ 在基 $y_1,y_2,...,y_n$下的坐标。
由式(1)=式(2)，得
$\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}$
称作 向量$x$在基变换C下的坐标变换公式。

个人理解：

1. 对线性空间作变换，也就是对线性空间的基做变换。（这是因为，线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示，即一组基可决定一个空间。但是，一个空间可对应不同的多组基）
2. 线性空间中的一个向量本身是不变的，但对基作变换后，基改变，从而基下的坐标改变，称为坐标变换，即，同一向量在不同基下的表示是不同的。

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2. 线性子空间

2.1 定义

$V_1$是线性空间$V$的非空子集和，$V_1$中满足数乘封闭和加法封闭，则称$V_1$是$V$的线性子空间或子空间。

个人理解：三维空间中的一个过原点的二维平面，或一条过原点的直线，都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

2.2 性质

• 线性子空间也是线性空间。（定义中满足数乘、加法封闭，即线性子空间首先要是线性的）
• 非零线性空间的平凡子空间：线性空间自身以及零空间he。
• 一个线性空间的子空间，其维数小于等于线性空间的维数（显然）。

延伸：n元齐次线性方程组的解空间 $W$ 是 $n$维向量空间 $V^n$

2.3 子空间的运算

2.3.1 和空间

$V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \}$

2.3.2 交空间

$V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \}$

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3. 矩阵的值域、核空间

3.1 向量张成的空间

$x_1,x_2,...,x_n$张成的空间，记为
$V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \}$其中$k_i$为常数。

个人理解：类似以向量组为基所生成的空间。

3.2 矩阵的值域

矩阵 $A\in C^{m×n}$的 $n$ 个列向量为 $a_1, a_2, ..., a_n$，则矩阵A的值域为$R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \}$

个人理解：矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间。
若把 $A$ 看作一种线性变换，那么矩阵的值域 $y=Ax$ 为线性空间中的原向量 $x$

3.3 矩阵的核空间

$N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \}$
核空间也叫零空间，零空间的维数为零度，记作 $n(A)$

个人理解：使 $Ax=0$ 成立的 $x$。
若把 $A$