智能优化算法：白鲸优化算法-附代码

智能优化算法：白鲸优化算法

摘要：白鲸优化算法([Beluga whale optimization，BWO)是由是由 Changting Zhong 等于2022 年提出的一种群体智能优化算法。其灵感来源于白鲸的群体觅食行为。

1.白鲸优化算法

BWO建立了探索、开发和鲸鱼坠落的三个阶段，分别对应于成对游泳、捕食和鲸落的行为。BWO中的平衡因子和鲸落概率是自适应的，对控制探索和开发能力起着重要作用。此外，还引入了莱维飞行来增强开发阶段的全局收敛性。

BWO算法可以从探索逐渐转换到开发，这取决于平衡因子 $\mathrm{~B}_{\mathrm{f}}$ ，其定义为:
$\mathrm{B}_{\mathrm{f}}=\mathrm{B}_0\left(1-\mathrm{T} /\left(2 \mathrm{~T}_{\max }\right)\right)$
其中， $\mathrm{T}$ 是当前迭代次， $\mathrm{T}_{\max }$ 是最大迭代次数， $\mathrm{B}_0$ 在每次迭代中在 $(0,1)$ 之间随机变化。探索阶段发生在平衡因子 $\mathrm{B}_{\mathrm{f}}>0.5$ 时，而开发 阶段发生在 $\mathrm{B}_{\mathrm{f}} \leq 0.5$ 。随着迭代次数 $\mathrm{T}$ 的增加， $\mathrm{B}_{\mathrm{f}}$ 的波动范围从 $(0,1)$ 减小到 $(0,0.5)$ ，说明开发和探索阶段的概率发生了显著变化，而 开发阶段的概率随着迭代次数 $\mathrm{T}$

1.1 探索阶段

BWO的探索阶段是白鲸的游泳行为建立的。搜索代理的位置由白鲸的配对游泳决定，白鲸的位置更新如下:
$\begin{cases}\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \mathrm{j}=\text { even } \\ \mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p}_1}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}\right)\left(1+\mathrm{r}_1\right) \cos \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right), \quad \mathrm{j}=\mathrm{odd}\end{cases}$
其中， $\mathrm{T}$ 是当前迭代次数， $\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{j}}^{\mathrm{T+1}}$ 是第i只白鲸在第$j$维上的新位置， $\mathrm{p}_{\mathrm{j}}(\mathrm{j}=1,2, \cdots, \mathrm{d})$ 是从 $\mathrm{d}$ 维中选择的随机整数， $\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p} \mathrm{j}}^{\mathrm{T}}$ 是第i条白鲸 在 $\mathrm{p}_{\mathrm{j}}$ 维度上的位置， $\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{p}_{\mathrm{j}}}^{\mathrm{T}}$ 和 $\mathrm{X}_{\mathrm{r}, \mathrm{p} 1}^{\mathrm{T}}$ 分别是第1条和第 $\mathrm{r}$ 条白鲸的当前位置 $\left(\mathrm{r}\right.$ 是随机选择的白鲸)，随机数 $r_1$ 和 $r_2$ 用于增强探索阶段的随机算子 ，$\mathrm{r}_1$ 和 $\mathrm{r}_2$ 是 $(0,1)$ 的随机数， $\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)$ 和 $\sin \left(2 \pi \mathrm{r}_2\right)$

1.2 开发阶段

BWO的开发阶段受到白鲸捕食行为的启发。白鲸可以根据附近白鲸的位置合作觅食和移动。因此，白鲸通过共享彼此的位置信息来捕 食，同时考虑最佳候选者和其他候选者。在BWO的开发阶段引入了莱维飞行策略，以增强收敛性。假设它们可以使用莱维飞行策略捕捉 猎物，数学模型表示为：
$\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_3 \mathrm{X}_{\text {best }}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_4 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{C}_1 \cdot \mathrm{L}_{\mathrm{F}} \cdot\left(\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}\right)$
其中， $\mathrm{T}$ 是当前迭代次数， $\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}$ 和 $\mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}$ 分别是第 $\mathrm{i}$ 条白鲸和随机白鲸的当前位置， $\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}$ 是第 $\mathrm{i}$ 条白鲸的新位置， $\mathrm{X}_{\mathrm{best}}^{\mathrm{T}}$ 是白鲸种群中的最佳位置， $\mathrm{r}_3$ 和 $\mathrm{r}_4$ 是 $(0,1)$ 之间的随机数， $\mathrm{C}_1=2 \mathrm{r}_4\left(1-\mathrm{T} / \mathrm{T}_{\max }\right)$ 是衡量莱维飞行强度的随机跳跃强度。 $\mathrm{L}_{\mathrm{F}}$ 是莱维飞行函数，计算如下:
$\begin{gathered} \mathrm{L}_{\mathrm{F}}=0.05 \times \frac{\mathrm{u} \times \sigma}{|\mathrm{v}|^{1 / \beta}} \\ \sigma=\left(\frac{\Gamma(1+\beta) \times \sin (\pi \beta / 2)}{\Gamma((1+\beta) / 2) \times \beta \times 2^{(\beta-1) / 2}}\right)^{1 / \beta} \end{gathered}$
其中， $u$ 和 $v$ 为正态分布随机数， $\beta$

1.3 鲸鱼坠落

为了在每次迭代中模拟鲸鱼坠落的行为，从种群中的个体中选择鲸鱼坠落概率作为主观假设，以模拟群体中的小变化。假设这些白鲸要 么移到别处，要么被击落并坠入深海。为了确保种群大小的数量恒定，使用白鲸的位置和鲸鱼落体的步长来建立更新的位置。数学模型表 示为：
$\mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}+1}=\mathrm{r}_5 \mathrm{X}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{T}}-\mathrm{r}_6 \mathrm{X}_{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}+\mathrm{r}_7 \mathrm{X}_{\text {step }}$
其中， $\mathrm{r}_5 、 \mathrm{r}_6$ 和 $\mathrm{r}_7$ 是 $(0,1)$ 之间的随机数， $\mathrm{X}_{\mathrm{step}}$ 是鲸鱼坠落的步长，定义为:
$\mathrm{X}_{\text {step }}=\left(\mathrm{u}_{\mathrm{b}}-\mathrm{l}_{\mathrm{b}}\right) \exp \left(-\mathrm{C}_2 \mathrm{~T} / \mathrm{T}_{\max }\right)$
其中， $\mathrm{C}_2$ 是与鲸鱼下降概率和种群规模相关的阶跃因子 $\left(\mathrm{C}_2=2 \mathrm{~W}_{\mathrm{f}} \times \mathrm{n}\right)$ ， $\mathrm{u}_{\mathrm{b}}$ 和 $\mathrm{l}_{\mathrm{b}}$ 分别是变量的上下限。可以看出，步长受问题变量边 界、当前迭代次数和最大迭代次数的影响。
在该模型中，鲸鱼坠落概率 $\left(\mathrm{W}_{\mathrm{f}}\right)$ 作为线性函数计算:
$\mathrm{W}_{\mathrm{f}}=0.1-0.05 \mathrm{~T} / \mathrm{T}_{\max }$
鲸鱼队落的概率从初始迭代的0.1降低到最后一次迭代的 $0.05$

3.实验结果

4.参考文献

[1] Changting Zhong, Gang Li, Zeng Meng. Beluga whale optimization: A novel nature-inspired metaheuristic algorithm[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 251: 109215.

5.Matlab代码

6.python代码