离散数学复习命题公式的范式
离散数学平面图对偶图和着色问题
离散数学谓词逻辑
离散数学-图的运算与基本概念、导出子图、路与连通
离散数学关系的基本运算和关系的性质闭包
离散数学-欧拉图和哈密顿图
文章目录
- 偶图
- 偶图的匹配
- 可增广道
偶图
偶图
定义10.2.1 若无向图G = <V, E>的结点集V能够划分为两个子集V1, V2，满足V1∩V2 =空集，且V1∪V2 = V，使得G中任意一条边的两个端点，一个属于V1，另一个属于V2，则称G为偶图(Bipartite Graph)或二分图(Bigraph)。V1和V2称为互补结点子集，偶图通常记为G=<V1,E,V2>。
偶图没有自回路。
平凡图和零图可看成特殊的偶图
在偶图G = <V1, E, V2>中，若V1中的每个结点与V2中的每个结点都有且仅有一条边相关联，则称偶图G为 完全偶图(Complete Bipartite Graph)
或完全二分图(Complete Bigraph)，记为Ki,j，其中，i = |V1|，j = |V2|。
平凡图(Trivial graph)指仅有一个结点的图，是离散数学与图论的范畴。如果图G是一个(1，0)图，则称为平凡图，或者说是由一个孤立点组成的图叫平凡图。否则称为非平凡图偶图的判定（充分必要条件）
偶图的判定
实际应用中，定理10.2.1本身使用不多，常使用它的逆否命题来判断一个图不是偶图。
无向图G 不是偶图的充分必要条件是G中存在长度为奇数的回路。
偶图的匹配
定义10.2.2 在偶图G = <V1, E, V2>中,V1 = {v1, v2, …, vq},若存在E的子集E’ = {(v1, v1’),(v2, v2’),…,(vq, vq’),其中v1’, v2’, …, vq’ 是V2中的q个不同的结点}，则称G的子图G’ = <V1, E’, V2>为从V1到V2的一个完全匹配(Complete Matching)，简称匹配。
V1中的任一结点在V2中均有不同的结点对应；
如果V2中的任一结点在V1中均有不同的结点对应，称为从V2到V1的一个完全匹配。
偶图匹配的充分、必要条件
由匹配定义知：在偶图G = <V1, E, V2>中，若存在V1到V2的单射f，使得对任意v∈V1，都有(v, f(v))∈E，则存在V1到V2的完备匹配。
充分条件
由单射的性质知,不是所有的偶图都有完备匹配，存在X-完备匹配的必要非充分条件是|V1| ≤ |V2|。
|V1| >|V2|可推出不存在X-完备匹配
霍尔定理
定理10.2.2 (霍尔定理) 偶图G = <V1, E, V2>中存在从V1到V2的完备匹配的充分必要条件是V1中任意k个结点至少与V2中的k个结点相邻，k = 1, 2, …, |V1|。
定理10.2.2中的条件通常称为相异性条件
（充分条件）定理10.2.3 设G = <V1,E,V2>是一个偶图。如果满足条件:
(1) V1中每个结点至少关联t条边；
(2) V2中每个结点至多关联t条边;则G中存在从V1到V2的匹配。其中t为正整数。
证明: 由条件(1)知，V1中k个结点至少关联tk条边(1≤k≤|V1|)，由条件(2)知，这tk条边至少与V2中k个结点相关联，于是V1中的k个结点至少与V2中的k个结点相邻接，满足相异性条件，所以G中存在从V1到V2的匹配。
定理10.2.3中的条件通常称为t条件
判断t条件相对较简单，只需要计算V1中结点的最小度数和V2中结点的最大度数即可。
该条件只是充分条件，若不满足t条件，可以进一步通过相异性条件进行检验
可增广道
贝尔格定理
匈牙利算法
