0205听课笔记1

简 单 数 论。

• gcd
• lcm
• gcd的应用：

• 类欧几里得问题：

$\sum_{x=1}^n\lfloor\frac{ax+b}c\rfloor$

• ，

$a,b,c,n\le 10^9$

• 可假设

$a\le c,b\le c$

• ，因为大于等于时减去一个

$c$

• ，

$a$

• 的贡献就在答案上加一个等差数列，

$b$

• 就在答案上加一个

$n$

• 就行了。而

$a<c$

• 时，画个图发现

$a,c$

• 可以翻转一下，就转化成了

$a\ge c$

• 的情况。就变成了一个递归，时间复杂度

$O(\log n)$

• 裴蜀定理与

$exgcd$

• ：

$ax+by=c$

• 简单题：已知

$a_1,a_2\in[l,r]$

• ，求使得

$a_k\equiv b(mod\ p)$

• 的

$a_2$

• 有多少个，其中

$a_i=a_{i-1}+a_{i=2}$

• 。

$a_1$

• 已知，

$k,b,p$

• 已知。

• 直接把

$a_k$

• 的系数算出来。然后

$exgcd$

• 。

• 欧拉定理：对于

$(a,m)=1$

• ，有

$a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m)$

• ；对于

$(a,m)\not = 1$

• ，有

$a^b\equiv a^{min(b,\ b\mod \varphi(m)+\varphi(m))}(mod\ m)$

• BZOJ 3884：

• 利用欧拉定理，递归，模数变成了

$\varphi(p)$

• 。而

$\varphi(p)\le \frac p2$

• ，所以最多有

$\log$

• 层。

• 素数：

• 判素数。

• 暴力

$O(\sqrt n)$

• Miller_Robin。

• 质因数分解。

• 如何分解

$n!$

• ？线性筛
• Pollard-Rho
• 质数个数。

• 中国剩余定理：

$x\equiv m_i(mod\ m_i)$

• ，

$m_i$

• 两两互质

• 不互质？
• 例题：NOI2018 屠龙勇士：模板裸题
• 例题：GCD Table：给出

$n\cdot m$

• 的数表，其中第

$i$

• 行

$j$

• 列是

$gcd(i,j)$

• ，再给定一个长度为

$k$

• 的数列

$a$

• ，判断其是否在数表的某一行出现过。

$n,m\le 10^{12},k\le 10^4$

• 
  
• 阶：

• 

• 
  
• 原根：此处的

• 

• 指g模p的阶。

• 

• 
  
• BSGS：

• 

• 
  
• exBSGS：

• 

• 多项式复合：已知

$f(x),g(x)$

• ，求

$f(g(x))\mod x^m,n\le m\le4000$

• ​​板题连接​​

• 
  
• SDOI2015 序列统计

• 

• Lucas定理

• 例题：

• 卢卡斯定理把它转化为p进制下每一位的组合数，然后数位DP。

• 例题：小Q的集合
• 右边爆算，左边就是二项式定理等于

$2^{\frac nm}$

• 。

• 扩展Lucas

• 对大质数取模
• 无需预处理的扩展卢卡斯