0205听课笔记2

• Stern-Brocot Tree （SB树）

• 例题：BZOJ2852：给两个有理数 $a,b$, 求最小的正整数 $k$, 使得 $(ak, bk)$ 里有整数。$a$, $b$ 整数部分不超过 $2^{31}$, 小数位数不超过 $300$ 位。

莫比乌斯反演

• 数论函数：定义域在正整数域上的函数。
• 积性函数：$(a,b)=1$，则$f(ab)=f(a)f(b)$（$\varphi,\mu,d_k(n)$最后那个是除数函数）
• 完全积性函数：$f(ab)=f(a)f(b)$（$I,id,\epsilon$）
• Dirichlet卷积。$(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)$，满足交换律结合律分配律。且如果$f,g$为积性函数，那么$f*g$也为积性函数。
• $e(n)=\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]\\e=\mu*I$
• 若$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$，则$g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac nd)$
  即$f=g*I\to f*\mu=g*I*\mu=g$
• 简单例题：$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(gcd(i,j))$

• $=\sum_{i=1}^{\min(n,m)}g(i)\lfloor\frac ni\rfloor\lfloor\frac mi\rfloor$，其中$g(i)=\sum_{d|i}\mu(d)$

• 简单例题：SPOJ LCMSUM
• ，$n\le 500000，T\le 500000$

• 显然答案等于$\sum_{d=1}^nd^2f(\lfloor\frac nd\rfloor)$，$f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(i,j)$

• 一个人的数论：

• 插值求出幂和多项式，然后用积性函数的性质计算答案。​​博客套博客套博客​​

• 怎样跑得更快：$n\le 10^5;c,d\le 10^9$，现有序列$b$满足$b_i\equiv \sum_{j=1}^n \gcd(i,j)^c\cdot lcm(i,j)^d\cdot z_j(mod\ 998244353)$，求$z$，无解输出$-1$。

杜教筛

都会就略了。上个图。

第一个式子变化基于$f(x)g(y)$会有贡献当且仅当$xy\le n$。

Min_25筛

• GCD Array



• 建立辅助数组$f$使得$a(i)=\sum_{j|i}f(j)$。
  $[(x,n)==d]\cdot v\\=[(\frac xd,\frac nd)==1]\cdot v\\=v\cdot\sum_{k|\frac xd,\frac nd}\mu(k)\\=\sum_{k|\frac nd,dk|x}v\cdot\mu(k)$
  每次修改相当于枚举$k|\frac nd$，然后给$f[dk]+=v\cdot \mu(k)$
  查询答案为$\sum_{i=1}^xa(i)=\sum_{i=1}^x\sum_{d|i}f(d)=\sum_{d=1}^xf(d)\lfloor\frac xd\rfloor$
  可以分块统计，用树状数组维护$f$的前缀和。
• 简单题：$S(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)$，$n\le10^{10}$

• 杜教筛：​​[bzoj 4176] Lucas的数论​​
• 有$\mu^2(i)=\sum_{d^2|i}\mu(d)$，所以$\sum_{i=1}^n\mu^2(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d^2|i}\mu(d)=\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\lfloor\frac n{d^2}\rfloor$.
• 暴力是根号的，整除分块一下能跑过$10^{18}$。整除分块的块数是$O(n^{\frac 13})$因为$d<n^{\frac 13}$只有$n^{\frac 13}$种；$d>n^{\frac 13}$时，$\lfloor\frac n{d^2}\rfloor\le n^{\frac 13}$。最后再加上杜教筛的时间复杂度。最后时间复杂度算出来是$O(n^{\frac 37})$