高等数学（微分中值定理）

转载于:高等数学——讲透微分中值定理

费马引理

费马引理很简单，是说如果在一段曲线当中存在一个点

$x_0$

，使得在

$x_0$

的邻域内都存在

$f(x) \leq f(x_0)$

（或

$f(x) \geq f(x_0)$

），那么就说明

$f'(x_0)=0$

。

对导数熟悉的同学会发现，这其实就是把话倒着说。导数为

$0$

的点是极值点，既然是极值点显然附近的点要么都大于它或者都小于它。我们看下下图就可以想明白。

证明的过程非常简单，我们令

$\Delta x \to 0$

，那么显然

$f(x + \Delta x) \geq f(x_0), f(x - \Delta x) \leq f(x_0)$

，利用极限左右边界相等，我们就可以证明它的正确性。

罗尔中值定理

罗尔中值定理是在费马引理的基础上做了一点引申，我们还是看上图，在上图当中

$A$

和

$B$

两点的函数值相等。所以罗尔中值定理是，如果某个函数满足：

在闭区间

$[a, b]$

上连续

$f(a) = f(b)$

在开区间

$(a, b)$

上可导

那么，在区间

$(a, b)$

当中必然存在一个点

$x_0$

，使得

$f'(x_0)=0$

。

这个中值定理也很容易想明白，既然函数在两个端点处值相等，那么无论它是先减再增还是先增再减或者是不增不减，那么显然都会存在至少一个极值点，既然存在极值点，那么根据费马引理显然就有导数为

$0$

的点。

拉格朗日中值定理

罗尔定理简单易懂，但是有一个小问题就是限制条件太死，函数上不一定能找到两个点相等。针对这个问题，大佬拉格朗日对这个公式进行了拓展。

他说，只要函数

$f(x)$

满足：

在闭区间

$[a, b]$

连续

在开区间

$(a, b)$

可导

那么就可以找到一个点

$\xi \in (a, b)$

使得：

$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a)$

这个式子这样看起来非常恐怖，我们做一个变形：

$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

这个我们都非常熟悉，就是就是

$a$

和

$b$

两点连线的斜率。而

$f'(\xi)$

则是函数在

$\xi$

这点的切线，从几何角度上来看，说明存在一个点的切线和端点连线平行，我们可以对照下图。

从定理上来看，如果

$a$

和

$b$

点的函数值相等，这个式子和罗尔定理完全一样，也就是说罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。

我们来看这个函数：

$L(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$

这个函数看起来很奇怪，但是它有一个巨牛的性质，就是它在

$a$

和

$b$

两点的值相等并且等于

$0$

，到这里就很简单了，我们对这个巨牛的函数求导：

$L'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

根据罗尔定理，我们可以找到一个点

$\xi \in (a, b)$

使得：

$f'(\xi) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

所以就得证了，花里胡哨，叹为观止。但是到这里还没有结束，还有一个重头戏没有上场。

柯西中值定理

柯西中值定理的图像和拉格朗日的一模一样，但是含义加深了一层。在我们之前的讨论当中，我们画的是

$y$

随着

$x$

变化的函数曲线。但是有可能

$X$

轴本身也是一个函数。也就是说之前我们画的是

$y = f(x)$

的图像，现在可能变成了

$Y = f(x), X = F(x)$

的图像，换句话说

$X$

轴和

$Y$

轴都是

$x$

的因变量，这里的的

$x$

成了一个参数。

在这样的函数当中，某一点的切线的斜率成了:

$\frac{dY}{dX}=\frac{f'(x)}{F'(x)}$

。柯西中值定理正是作用于这样的函数上，如果函数

$f, F$

满足：

在闭区间

$[a, b]$

上连续

在开区间

$(a, b)$

上可导

对于任意

$x \in (a, b), F'(x) \neq 0$

那么至少在

$(a, b)$

当中存在一点

$\xi$

，满足：

$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

虽然这个公式看起来非常虎，但是证明方法和上面大同小异，我们引入一个基本上一样的辅助函数：

$L(x) = f(x) - f(a)-\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}[F(x) - F(b)]$

证明方法也是一样，可以发现这个辅助函数是满足罗尔定理的，那么我们对它求导，一模一样的方法就可以得到证明。我这里就不证了，意思不大。