低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）

原创

CMMKK 2024-08-03 22:18:26 ©著作权

文章标签 聚类机器学习支持向量机特征空间数据 文章分类 Python 后端开发

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低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）

引言

低秩核子空间聚类方法（LRKSC）是一种先进的聚类技术，它结合了低秩表示（Low-Rank Representation, LRR）和核方法的优势，以处理复杂非线性数据的聚类问题。

LRKSC 将数据映射到高维特征空间，然后在此空间中寻找数据点的低秩表示，以揭示数据的潜在子空间结构。

核心原理

LRKSC 的核心是利用核函数将原始数据映射到高维特征空间，然后在这个空间中寻找数据点的低秩表示。

通过低秩表示，可以将数据点表示为其他数据点的线性组合，从而揭示数据点在不同子空间内的关系。

核函数

核函数 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类$ 是一种度量两个数据点在高维特征空间中相似度的函数，而无需显式地计算这个空间中的特征映射。

常见的核函数包括高斯核、多项式核、线性核等。

低秩表示

在高维特征空间中，数据点 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_02$ 可以表示为其他数据点的线性组合，即 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_特征空间_03$ ，其中 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_数据_04$ 是特征映射， $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_05$ 是表示矩阵，理想情况下它是低秩的。

目标函数

LRKSC 的目标函数是寻找一个低秩表示矩阵 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_05$ ，使得数据点在高维特征空间中的重构误差最小，同时保持 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_05$ 的低秩性。目标函数可以表示为：

$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类_08$

这里：

$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类_09$ 是数据点在高维特征空间中的表示矩阵；
$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_10$
$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_特征空间_11$ 是核范数（也称为迹范数），衡量矩阵的奇异值的和，用于促进矩阵的低秩性；
$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类_12$ 是表示矩阵；
$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_数据_13$ 是误差矩阵，用于表示噪声或无法用低秩表示捕获的误差；
$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_数据_14$

优化问题简化

由于直接在高维特征空间中操作可能计算成本高昂，LRKSC 实际上是通过核矩阵 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_特征空间_15$ 来解决问题的，其中 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_特征空间_16$ 。因此，原始的优化问题可以简化为：

$低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类_17$

构建相似度矩阵

一旦找到低秩表示矩阵 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_05$ ，可以构建相似度矩阵 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类_19$ ，用于后续的聚类过程。相似度矩阵可以是 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_05$ 的绝对值矩阵，或者更常见的是，使用 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_聚类_21$

聚类

最后，使用谱聚类技术对数据点进行聚类。

谱聚类涉及构建拉普拉斯矩阵 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_22$ ，然后计算 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_机器学习_22$ 的特征向量，并使用 $低秩核子空间聚类方法（Low-Rank Kernel Subspace Clustering, LRKSC）_数据_24$ -means 或其他聚类算法对特征向量进行聚类。