鲁棒核稀疏子空间聚类模型(Robust Kernel Sparse Subspace Clustering, RKSSC)
引言
鲁棒核稀疏子空间聚类模型(RKSSC)是一种用于处理高维数据的聚类技术,特别设计用于对抗数据中的噪声和异常值
。
该模型结合了稀疏表示、核方法和鲁棒优化策略,以在非线性子空间中寻找数据点的稀疏表示
,同时最小化噪声和异常值的影响。
原理
RKSSC 的核心是利用核技巧将数据点映射到高维特征空间,然后在这个空间中寻找数据点的稀疏表示。
同时,它采用鲁棒优化策略,比如使用范数来惩罚误差,以增强对噪声和异常值的鲁棒性。
数学模型
假设我们有一组数据点 ,其中 。
在 RKSSC 中,我们的目标是找到一个稀疏表示矩阵
,使得每个数据点 都可以表示为其他数据点在高维特征空间中的线性组合
,同时使表示误差和稀疏性之间的权衡最小。
目标函数
RKSSC 的目标函数可以表示为:
这里:
- 是
核矩阵
,其中 是核函数
计算的相似度
; - 是
表示矩阵
,其中 表示数据点 使用数据点 - 是
误差矩阵
,用于表示噪声或异常值; - 是 L1 范数,
用于促进稀疏性;
- 和
约束条件
RKSSC 还包含一些约束条件以确保解的合理性,例如:
其中:
- 是单位矩阵, 和
- 表示
Hadamard 乘积
(逐元素乘积),确保数据点不使用自身进行表示;
- 第二个约束
确保每个数据点的表示是通过其他数据点的线性组合给出的。
聚类过程
一旦找到表示矩阵 ,就可以构建相似度矩阵 ,并使用谱聚类算法对数据点进行聚类。相似度矩阵可以是 的绝对值矩阵,或者更常见的是使用
结论
鲁棒核稀疏子空间聚类模型(RKSSC)通过结合稀疏表示、核方法和鲁棒优化策略,能够有效地处理高维数据的聚类问题,特别是当数据受到噪声和异常值影响时。
RKSSC 在高维特征空间中寻找数据点的稀疏表示,同时最小化噪声和异常值的影响,从而提高了聚类的准确性和鲁棒性。