学习用矩阵做置换的过程很有趣，我遇到的置换问题最开始的思路就向矩阵发展了，然而很不幸，那题时间卡的紧，用矩阵是超时的做法（反正我没过）。不过我也意外的学习了这样的方法：
经典的置换矩阵：
比如：1 2 3 4 ---> 2 4 1 3
设转换矩阵是A。给出置换方法：
表示第
位置上的字符换到i位置上所以
通过将置换操作分离出来成快速幂，最后和被操作序列做乘法，缩短时间。估计时间：O(nm) --> O(logn+m)
这是那一道题（注：下面的代码是超时的，我只是想用用矩阵模拟置换而已）
POJ 1026 Cipher
http://poj.org/problem?id=1026
输入： 10 4 5 3 7 2 8 1 6 10 9 1 Hello Bob 1995 CERC
解释：
n
k string
给出置换方法：
. 表示第i位置上的字符换到
位置上
所以
。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=205;
int n;
char mys[N],cont[N];
struct matrix{
int m[N][N];
}I;
int add(int a,int b){
int ans=0;
while(b){
if(b&1) ans=ans+a;
a=a+a;
b>>=1;
}
return ans;
}
matrix operator *(const matrix a,const matrix b){
matrix ans;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
ans.m[i][j]=0;
for(int k=0;k<n;k++){
ans.m[i][j]+=add(a.m[i][k],b.m[k][j]); //位置置换不需要模运算。
}
}
}
return ans;
}
matrix operator ^(const matrix a,const int b){
matrix ans=I,temp=a;
int p=b;
while(p){
if(p&1) ans=ans*temp;
temp=temp*temp;
p>>=1;
}
return ans;
}
void show(matrix mp){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++) cout<<mp.m[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
int main()
{
//freopen("cin.txt","r",stdin);
for(int i=0;i<N;i++){
I.m[i][i]=1;
}
while(~scanf("%d",&n)&&n){
matrix A; // 默认构造方法，m全是0
int val;
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&val);
A.m[val-1][i]=1; // 和经典类型相比，列变行 行变列
}
int k;
while(scanf("%d",&k)&&k){
matrix g=A^k;
getchar();
gets(mys);
int len=strlen(mys);
while(len<n){
mys[len++]=' ';
}
for(int i=0;i<n;i++){
cont[i]=0;
for(int k=0;k<n;k++){
cont[i]+=g.m[i][k]*mys[k];
}
}
cont[n]=0;
printf("%s\n",cont);
}
}
return 0;
}
下面才是正确的解法：
对置换群每个元素寻找循环节。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=205;
int a[N];
int cir[N];
char str[N];
char ans[N];
bool vis[N];
int main()
{
//freopen("cin.txt","r",stdin);
int n;
while(scanf("%d",&n)&&n){
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(vis,0,sizeof(vis));
int dex=i;
int loop=0;
while(vis[dex]==0){
loop++;
vis[dex]=1;
dex=a[dex];
}
cir[i]=loop;
}
int k;
while(scanf("%d",&k)&&k){
memset(ans,0,sizeof(ans));
getchar();
gets(str+1);
int len=strlen(str+1);
for(int i=1;i<=n;i++){
int d=k%cir[i];
int dex=i;
for(int j=0;j<d;j++){
dex=a[dex];
}
if(i>len) ans[dex]=' ';
else ans[dex]=str[i];
}
ans[n+1]=0;
printf("%s\n",ans+1);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
来一个可以用矩阵置换的：
P1049送给圣诞夜的礼品
输入：
7 5 8
6 1 3 7 5 2 4
3 2 4 5 6 7 1
7 1 3 4 5 2 6
5 6 7 3 1 2 4
2 7 3 4 6 1 5
解释：
n,m,k
m行n列的置换矩阵
6 1 3 7 5 2 4 就是把6位置上的元素换到1位置上，1位置上的元素换到2位置上…… 经典的置换操作, .
粗略的讲就是 B=(1,2,3……n)'
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=105;
struct matrix{
int m[N][N];
int nn,mm;
matrix operator =(const matrix a){
nn=a.nn;
mm=a.mm;
for(int i=0;i<a.nn;i++){
for(int j=0;j<a.mm;j++){
m[i][j]=a.m[i][j];
}
}
return *this;
}
}mp[15],I,old;
matrix multi(matrix a,matrix b){
matrix ans;
ans.nn=a.nn;
ans.mm=b.mm;
for(int i=0;i<a.nn;i++){
for(int j=0;j<b.mm;j++){
ans.m[i][j]=0;
for(int k=0;k<a.mm;k++){
ans.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
}
}
}
return ans;
}
matrix power(matrix a,int b){
matrix ans=I,temp=a;
int p=b;
while(p){
if(p&1) ans=multi(ans,temp);
temp=multi(temp,temp);
p>>=1;
}
return ans;
}
void show(matrix v){
cout<<"show: "<<endl;
for(int i=0;i<v.nn;i++){
for(int j=0;j<v.mm;j++) cout<<v.m[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
int main()
{
//freopen("cin.txt","r",stdin);
for(int i=0;i<N;i++){
I.m[i][i]=1;
old.m[i][0]=i+1;
}
int n,m,k;
while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)){
old.nn=n;
old.mm=1;
I.nn=n;
I.mm=n;
memset(mp,0,sizeof(mp));
matrix A=I;
int dex=0;
for(int i=0;i<m;i++){
mp[i].nn=mp[i].mm=n;
for(int j=0;j<n;j++){
scanf("%d",&dex);
mp[i].m[j][dex-1]=1;
}
A=multi(mp[i],A);
}
A=power(A,k/m);
k=k%m;
matrix ans=multi(A,old);
//show(ans);
for(int i=0;i<k;i++) ans=multi(mp[i],ans);
//show(ans);
for(int i=0;i<n-1;i++){
printf("%d ",ans.m[i][0]);
}
printf("%d\n",ans.m[n-1][0]);
}
return 0;
}
