矩阵的运算规则

1 矩阵的加法

定义1　设有两个 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 和 $\boldsymbol{B} = (b_{ij})$，那么 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 记作 $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}$，规定为
$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\ \end{pmatrix}$
只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵的加法运算满足下列运算规律（设 $\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$、$\boldsymbol{C}$ 都是 $m \times n$

• $\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}$；
• $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) + \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} + (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})$。

设矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$，记 $-\boldsymbol{A} = (-a_{ij})$，$-\boldsymbol{A}$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的负矩阵，显然有
$\boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{A}) = 0$
于是有矩阵减法的定义如下：

定义2　规定矩阵的减法为
$\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} + (-\boldsymbol{B})$

2 数与矩阵相乘

定义3　数 $\lambda$ 与矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的乘积记作 $\lambda \boldsymbol{A}$ 或 $\boldsymbol{A} \lambda$，规定为
$\lambda \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} \lambda = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \\ \end{pmatrix}$
数乘矩阵满足下列运算规律（设 $\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 矩阵，$\lambda$、$\mu$

• $(\lambda \mu)\boldsymbol{A} = \lambda(\mu \boldsymbol{A})$；
• $(\lambda + \mu) \boldsymbol{A} = \lambda \boldsymbol{A} + \mu \boldsymbol{A}$；
• $\lambda(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = \lambda \boldsymbol{A} + \lambda \boldsymbol{B}$。

矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。

3 矩阵与矩阵相乘

定义4　设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 是一个 $m \times s$ 矩阵，$\boldsymbol{B} = (b_{ij})$ 是一个 $s \times n$ 矩阵，那么规定 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{C} = (c_{ij})$，其中
$c_{ij} = a_{i1} b_{1j} +a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{is} b_{sj} = \sum_{k=1}^s a_{ik} b_{kj} \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$
并将此乘积记作
$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$
以上定义表明，矩阵 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}$ 的 $(i,j)$ 元 $c_{ij}$ 就是 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行与 $\boldsymbol{B}$ 的第 $j$

需要注意的是：

• 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；
• 矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \ne \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$；
• 若有两个矩阵$\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$满足$\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{O}$，不能得出$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{O}$或$\boldsymbol{B} = \boldsymbol{O}$

矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍然满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：

• $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) \boldsymbol{C} = \boldsymbol{A} (\boldsymbol{B} \boldsymbol{C})$；
• $\lambda (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) = (\lambda \boldsymbol{A}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} (\lambda \boldsymbol{B})$（其中$\lambda$
• $\boldsymbol{A} (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$，$(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} + \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}$。

3.1 单位矩阵的乘法

对于单位矩阵 $E$，容易验证
$\boldsymbol{E}_m \boldsymbol{A}_{m \times n} = \boldsymbol{A}_{m \times n}, \hspace{1em} \boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{E}_n = \boldsymbol{A}_{m \times n}$
或简写成
$\boldsymbol{E} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{A}$
可见单位矩阵 $E$ 在矩阵乘法中的作用类似于数 $1$。

3.2 纯量阵

矩阵
$\lambda \boldsymbol{E} = \begin{pmatrix} \lambda & & & \\ & \lambda & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda \\ \end{pmatrix}$
称为 纯量阵。由 $(\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{A} = \lambda \boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{A} (\lambda \boldsymbol{E}) = \lambda \boldsymbol{A}$，可知纯量阵 $\lambda \boldsymbol{E}$ 于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的乘积等于数 $\lambda$ 与 $\boldsymbol{A}$

当 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵时，有
$(\lambda \boldsymbol{E}_n) \boldsymbol{A}_n = \lambda \boldsymbol{A}_n = \boldsymbol{A}_n (\lambda \boldsymbol{E}_n)$
表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。

3.3 矩阵的幂

根据矩阵的乘法，定义矩阵的幂。设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，定义
$\boldsymbol{A}^1 = \boldsymbol{A}, \hspace{1em} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A}^1 \boldsymbol{A}^1, \hspace{1em} \cdots, \hspace{1em} \boldsymbol{A}^{k+1} = \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{A}^1$
其中 $k$ 为正整数，这就是说，$\boldsymbol{A}^k$ 就是 $k$ 个 $\boldsymbol{A}$

由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：

• $\boldsymbol{A}^k \boldsymbol{A}^l = \boldsymbol{A}^{k+l}$；
• $(\boldsymbol{A}^k)^l = \boldsymbol{A}^{kl}$。

其中 $k$、$l$

需要注意的是：对于两个 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$，一般来说 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^k \ne \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{B}^k$，只有当 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 可交换时，才有 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^k = \boldsymbol{A}^k \boldsymbol{B}^k$。

4 矩阵的转置

定义5　把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 $\boldsymbol{A}$ 的 转置矩阵，记作 $\boldsymbol{A}^T$。

矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：

• $(\boldsymbol{A}^T)^T = \boldsymbol{A}$；
• $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^T = \boldsymbol{A}^T + \boldsymbol{B}^T$;
• $(\lambda \boldsymbol{A})^T = \lambda \boldsymbol{A}^T$；
• $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T$。

性质　$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T$。

证明　设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times s}$、$\boldsymbol{B} = (b_{ij})_{s \times n}$，记 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{C} = (c_{ij})_{m \times n}$，$\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{D} = (d_{ij})_{n \times m}$，于是有
$c_{ji} = \sum_{k=1}^s = a_{jk} b_{ki}$
而 $\boldsymbol{B}^T$ 的第 $i$ 行为 $(b_{1i},\cdots,b_{si})$，$\boldsymbol{A}^T$ 的第 $j$ 列为 $(a_{j1},\cdots,a_{js})$，因此
$d_{ij} = \sum_{k=1}^s b_{ki} a_{jk} = \sum_{k=1}^s a_{jk} b_{ki}$
所以
$d_{ij} = c_{ji} \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,m)$
即 $\boldsymbol{D} = \boldsymbol{C}^T$，亦即 $\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^T$。

4.1 对称矩阵

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，如果满足 $\boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{A}$，即
$a_{ji} = a_{ij} \hspace{1em} (i,j=1,2,\cdots,n)$
那么 $\boldsymbol{A}$ 称为 对称矩阵，简称 对称阵。对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。

5 方阵的行列式

定义6　由 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为 方阵 $\boldsymbol{A}$，记作 $\det \boldsymbol{A}$ 或 $|\boldsymbol{A}|$。

应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，$n$ 阶方阵是 $n^2$ 个数按一定方式排成的数表，而 $n$

由 $\boldsymbol{A}$ 确定 $|\boldsymbol{A}|$ 的这个运算满足下列运算规律（设 $\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$

• $|\boldsymbol{A}^T| = |\boldsymbol{A}|$；
• $|\lambda \boldsymbol{A}| = \lambda^n |\boldsymbol{A}|$；
• $|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$。

需要注意的是：对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$，一般来说 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \ne \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$，但总有
$|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$
性质：$|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}| = |\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$

证明　设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$，$\boldsymbol{B} = (b_{ij})_{n \times n}$。记 $2n$ 阶行列式
$D = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ -\boldsymbol{E} & \boldsymbol{B} \\ \end{vmatrix}$
由 “阶梯状行列式的性质” 可知，$D = |\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$。现将 $D$ 中以 $b_{11}$ 乘第 $1$ 列，$b_{21}$ 乘第 $2$ 列，……，$b_{n1}$ 乘第 $n$ 列都加到第 $n+1$ 列上；再以 $b_{12}$ 乘第 $1$ 列，……，$b_{n2}$ 乘第 $n$ 列都加到第 $n+2$ 列上；……；最后以 $b_{1n}$ 乘第 $1$ 列，……，$b_{nn}$ 乘第 $n$ 列都加到第 $2n$ 列上，即
$\begin{align*} D & \xlongequal{c_{n+1} + b_{11} c_1 + \cdots b_{n1} c_n} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + \cdots + a_{1n} b_{n1} & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} & a_{n1} b_{11} + a_{n2} b_{21} + \cdots + a_{nn} b_{n1} & \cdots & 0 \\ -1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & 0 & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ & \cdots \\ & \xlongequal{c_{2n} + b_{1n} c_1 + \cdots b_{nn} c_n} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + \cdots + a_{1n} b_{n1} & \cdots & a_{11} b_{1n} + a_{12} b_{2n} + \cdots + a_{1n} b_{nn} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} & a_{n1} b_{11} + a_{n2} b_{21} + \cdots + a_{nn} b_{n1} & \cdots & a_{n1} b_{1n} + a_{n2} b_{2n} + \cdots + a_{nn} b_{nn} \\ -1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix} \\ & = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{X} \\ -\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \end{vmatrix} \end{align*}$

其中 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{X} = (x_{ij})$，因 $x_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}$，知 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$。再对上式最后一个行列式作 $n$ 次行对换：$r_1 \leftrightarrow r_{n+1}$，$r_2 \leftrightarrow r_{n+2}$，……，$r_n \leftrightarrow r_{2n}$，得
$D = (-1)^n \begin{vmatrix} -\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{A} & \boldsymbol{X} \\ \end{vmatrix} = (-1)^n |\boldsymbol{E}| |\boldsymbol{X}| = (-1)^n (-1)^n |\boldsymbol{X}| = |\boldsymbol{X}| = |\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|$
得证。

5.1 伴随矩阵

行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的各个元素的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下的矩阵
$\boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix}$
称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 伴随矩阵，简称 伴随阵。

性质1　$\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$。

证明　设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$，记 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^ = (b_{ij})$，则
$b_{ij} = a_{i1} A_{j1} + a_{i2} A_{j2} + \cdots + a_{in} A_{jn} = \begin{cases} |\boldsymbol{A}|, \hspace{1em} & i = j \\ 0, \hspace{1em} & i \ne j \end{cases}$
故
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} |\boldsymbol{A}| & & & \\ & |\boldsymbol{A}| & & \\ & & \ddots & \\ & & & |\boldsymbol{A}| \\ \end{pmatrix} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$
类似有
$\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A} = |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}$