Problem C. Increasing Shortest Path【贪心 & 最短路->DP】

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题意

• 给一个图，$n$ 个点 $m$ 条边，$q$ 次询问，求从 $i$ 到 $j$ 的走过条数不超过 $c$
• 数据范围：$150$ 点，$3000$ 边，$1000$ 次询问，时间要求 $30$

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题解

• 定义$dp[i][j][k]$为从$i$到$j$，恰好走$k$
• 由于我们要满足路径边权递增，所以会想到给所有边按照边权排个序。然后我们依次将边加入图中，这样就可以保证路径边权是递增的。
• 我们会注意到，由于任意两个点间的路径不能存在环（路径边权递增），所以任意两个点之间的距离至多为$n-1$，这样我们就把$c$减小为$n-1$

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AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxm = 3e3 + 5;
const int maxn = 150 + 3;
const int mod = 1e9 + 7;

struct Edge {
  int x, y, w;
  bool operator < (const Edge &t) const {
    return w < t.w;
  }
}edge[maxm];

int dp[maxn][maxn][maxn];

void update(int& a, int b) {
  if (a == -1 || b < a)  a = b; // 如果无法到达，或者b更优，更新
}

int main() {
  int T;  cin >> T;
  while (T--) {
    int N, M, Q;  cin >> N >> M >> Q;
    memset(dp, -1, sizeof dp);
    for (int i = 0; i <= N; ++i)  dp[i][i][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= M; ++i) 
      cin >> edge[i].x >> edge[i].y >> edge[i].w;
    sort(edge + 1, edge + 1 + M);
    for (int i = 1; i <= M; ++i)  // 升序枚举所有边
      for (int start = 1; start <= N; ++start)  // 枚举起点
        for (int step = 1; step < N; ++step)  // 枚举步数
          if (dp[start][edge[i].x][step - 1] != -1)  // 如果可以从start到达这条边的起点
            update(dp[start][edge[i].y][step], dp[start][edge[i].x][step - 1] + edge[i].w); // 尝试走这条边到达edge[i].y
    for (int i = 0; i < Q; ++i) {
      int x, y, c;  cin >> x >> y >> c;
      if (c >= N)  c = N - 1; // 
      int ans = -1;
      for (int j = 0; j <= c; ++j) 
        if (dp[x][y][j] != -1)  update(ans, dp[x][y][j]);
      cout << ans << endl;
    }
  }
  return 0;
}