最短路径问题（Shortest Path）
一、最短路径（Shortest Path）
注意：最短路径与最小生成树不同，路径上不一定包含n个顶点。
对于图来说：从一个顶点到另一个顶点可能存在多条路径，每条路径的所包含的边数可能不同。把所包含的边数最少的那条称为最短路径
最短路径：对于网（带权的图）来说，从一个顶点到另一个顶点所经过的边的权值之和称为带权路径长度，把带权路径长度最短的那条称为最短路径。
图可以认为是所有边的权值均为1的网。
源点：路径上的第一个顶点
终点：路径上的最后一个顶点
二、迪杰斯特拉（Dijkstra)算法
从某个源点到其余各顶点的最短路径——迪杰斯特拉（Dijkstra)算法
1、Dijkstra算法基本思想
2、存储结构（顶点个数为n)
1、主要存储结构：邻接矩阵G[n][n] (或者邻接表)
2、辅助存储结构：
（1）数组S[n]:记录相应顶点是否已被确定最短距离，true：确定；false:未确定
（2）数组D[n]:记录源点到相应顶点路径的长度
初值：如果v0到vi有弧，则D[i]为弧上权值，否则为无穷
（3）数组Path[n]:记录相应顶点的前驱顶点
初值：如果v0到vi有弧，则Path[i]为v0,否则为-1
3、算法思想
4、算法描述
/*迪杰斯特拉算法*/
void ShortestPath_DIJ(AMGraph G, int v0)
{ //用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点的最短路径
n = G.vexnum;//n为G中顶点的个数
for (v = 0;v < n;++v)
{ //n个顶点依次初始化
S[v] = false; //S初始为空集
D[v] = G.arcs[v0][v]; //将v0到各个终点的最短路径长度初始化
if (D[v] < MaxInt)
Path[v] = v0; //v0与v之间有弧，将v的前驱置为v0
else
Path[v] = -1; //如果v0与v之间无弧，则将v的前驱置为-1
}
S[v0] = true; //将v0加入S
D[v0] = 0; //源点到源点的距离为0
/*初始化结束，开始主循环，每次求得v0到某个顶点v的最短路径，将v加到S集*/
for (i = 1;i < n;++i)
{ //对其余n-1个顶点，依次进行计算
min = MaxInt;
for(w = 0;w < n;++w)
if (!S[w] && D[w] < min)
{
v = w;
min = D[w];
} //选择一条当前的最短路径，终点为v
S[v] = true; //将v加入S
for(w = 0;w < n;++w) //更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度
if (!S[w] && D[v] + G.arcs[v][w] < D[w])
{
D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w]
Path[w] = v;//更改w的前驱为v
}
}
}
三、非洛伊德（Floyd)算法
每一对顶点之间的最短路径——非洛伊德（Floyd)算法
1、Floyd算法基本思想
从图的带权邻接矩阵G.arcs出发:
假设求顶点vi到顶点vj的最短路径。如果从vi到vj有弧，则从vi到vj存在一条长度为G.arcs[i][j]的路径，但该路径是否是最短路径，还需要进行n次试探。
2、算法描述
void ShortestPath_Floyed(AMGraph G)
{ //用Floyed算法求有向网G中各对顶点i和j之间的最短路径
for (i = 0;i < G.vexnum;++i) //对各结点之间初始化已知路径及距离
for (j = 0;j < G.vexnum;++j)
{
D[i][j] = G.arcs[i][j];
if (D[i][j] < MaxInt && i != j)
Path[i][j] = i;//i和j之间有弧，将j的前驱置为i
else
Path[i][j] = -1; //i和j之间无弧，则将j的前驱置为-1
}
for (k = 0;k < G.vexnum;++k)
for (i = 0;i < G.vexnum;++i)
for (j = 0;j < G.vexnum;++j)
if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j])
{ // 从i经过k到j的一条路径更短
D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];//更新D[i][j]
Path[i][j] = Path[k][j];//更改j的前驱为k
}
}
