LA@相似方阵和对角化

文章目录

• ​​相似方阵​​

• ​​相似矩阵和特征值​​
• ​​小结​​

• ​​方阵相似对角化​​

• ​​结论​​

• ​​推论​​
• ​​对角化方法归纳​​

• ​​例​​

• ​​方阵高次幂​​

相似方阵

• 对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵

• 对角阵相关的乘法运算是很高效的
• 相似方阵是和对角阵相关的概念

• 设A和B是n阶方阵,如果存在n阶可逆方阵P,使得$P^{-1}AP=B$,则称方阵A,B相似,记为$A\sim{B}$

• 该定义可以用来判断给定的两个方阵是否相似
• 也可以根据给定的方阵A来生成与A相似的矩阵集

• 相似矩阵特点

• $A\sim{A}$
• $A\sim{B}\Rightarrow{B\sim{A}}$

• $P^{-1}AP=B,A=PBP^{-1}$

• $A\sim{B},B\sim{C}\Rightarrow{A\sim{C}}$

• $P^{-1}AP=B,Q^{-1}BQ=C$
• $QCQ^{-1}=B=P^{-1}AP$
• $PQCQ^{-1}P^{-1}=A$
• $(PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}$
• 因此$C\sim{A}$

• 单位矩阵只和自身相似

• 设方阵A和单位阵E相似
• $P^{-1}AP=E$
• $A=PEP^{-1}=E$
• 因此和单位阵E相似的矩阵是E本身

相似矩阵和特征值

• 设$A\sim{B}$,即存在可逆阵P,$P^{-1}AP=B$
• 相似矩阵有相同的特征矩阵(因此有相同的特征值)

• 证明:

• $f(\lambda)=|\lambda{E}-B|=|\lambda{E}-P^{-1}AP|$

• $=|\lambda{(P^{-1}P)-P^{-1}AP}|$
• $=|P^{-1}(\lambda{P}-AP)|$
• $=|P^{-1}(\lambda{E}-A)P|$
• $=|P^{-1}||\lambda{E}-A||P|$
• $=|P|^{-1}|P||\lambda{E}-A|$
• $=|\lambda{E}-A|$

• 可见,A,B具有相同的特征方程,也具有共同的特征值

• 但是,特征值相同的方阵未必相似

• $|A|=|B|$

• $|B|=|P^{-1}BP|=|P^{-1}||B||P|=|P|^{-1}|P||B|=B$

• $tr(A)=tr(B)$

• A,B具有相同的特征值
• $tr(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}$
• $tr(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}b_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}$
• $\therefore tr(A)=tr(B)$

• $r(A)=r(B)$

• $A=P^{-1}BP^{}$

• $P,P^{-1}$都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
• 因此,A相当于有B经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)

• $A^T\sim{B^T}$

• $P^{-1}AP=B$
• $Q^{-1}BQ=A$
• $(P^{-1}AP)^T=B^T$

• $P^TA^T(P^{-1})^T=B^T$
• $P^TA^T(P^{T})^{-1}=B^T$
• 可见$A^T\sim{B^T}$

• $A^m\sim{B^m}$

• $B^m=(P^{-1}AP)^m=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots{(P^{-1}AP)}$

• $=P^{-1}A(PP^{-1})A(P\cdots{P^{-1})AP}$
• $=P^{-1}A^mP$

• $P^{-1}A^mP=B^m$

• 若$A^{-1}$存在,则$B^{-1}$存在,$A^{-1}\sim{B^{-1}},A^*\sim{B^*}$

• B可逆:

• 方法1:
• $A\sim{B}\Rightarrow{|A|=|B|}=k$
• $A^{-1}$存在,$|A|\neq{0}$,则$|B|=|A|\neq{0}$
• 方法2:
• 由于A可逆,则$P^{-1}AP=B$表明,B是可逆矩阵的乘积,所以B也可逆

• $A^{-1}=PB^{-1}P^{-1}$,因此$B^{-1}\sim{A^{-1}}$

• 设$P^{-1}A^{-1}P=B^{-1}$

• $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=k^{-1}A^*$
• $B^{-1}=\frac{1}{|B|}B^{*}=k^{-1}B^*$
• $P^{-1}k^{-1}A^*P=k^{-1}B^*$
• $P^{-1}A^*P=B^*$

小结

• 上述结论说明,相似阵之间有很多共同点

方阵相似对角化

• 如果方阵$A\sim{B}$,且B是一个对角阵(方阵),则称A可以相似对角化

• 简单的记为$A\sim{\Lambda}$;$P^{-1}AP=\Lambda$

• 不是所有方阵都可以对角化
• n阶方阵A有n个线性无关向量是A和一个对角阵相似的充要条件

• 证明

• 设A和一个对角阵相似,则存在可逆阵$P$,使得$P^{-1}AP=\Lambda $

• $\Lambda=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$
• $AP=P\Lambda{}$
• 设可逆矩阵$P=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$
• 则

• $P\Lambda =(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \begin{pmatrix} {{\lambda _1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} =(\lambda_{1}\alpha_1,\cdots,\lambda_n\alpha_n)$
• $AP=A(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(A\alpha_1,\cdots,A\alpha_n)$
• $AP=P\Lambda \\ (A\alpha_1,\cdots,A\alpha_n) =(\lambda_{1}\alpha_1,\cdots,\lambda_n\alpha_n) \\ A\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_i$
• $\lambda_i,i=1,\cdots,n$是矩阵A的n个特征值
• $P$是可逆矩阵,P的列向量组$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$线性无关(事实上有$\lambda_i\neq{\lambda_{j}},\text{if }j\neq{i}$)
• 因此,P的n个列向量就是方阵A的n个线性无关特征向量

• 设存在$\Phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_n$是A的关于$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$的线性无关特征向量

• $A\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_i$,$i=1,\cdots,n$
• $(A\alpha_1,\cdots,A\alpha_n)=A(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=AP \\ (\lambda_1\alpha_1,\cdots,\lambda_n\alpha_n) =(\alpha_1,\cdots,\alpha_n) \begin{pmatrix} {{\lambda _1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} =P\Lambda$

• 两行式子相等$AP=P\Lambda$

• 令方阵$P=(\Phi)$,因为$\Phi$线性无关,所以$r(\Phi)=n$,方阵P可逆

• 对$AP=P\Lambda$同时左乘$P^{-1}$
• $P^{-1}AP=\Lambda$
• 因此$A\sim{\Lambda}$

结论

• 通过上述推到,可以发现,如果方阵A可以对角化,那么

• A的n个线性无关向量组$\Psi=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$构成的矩阵$P=(\Psi)$
• A的对应于$\Psi$的n个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$构成的对角阵$\Lambda=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$
• $P,\Lambda$恰好能够满足$P^{-1}AP=\Lambda$

推论

• 如果n阶方阵A存在n个互不相同的特征值,则A可以对角化

• 根据特征值的相关性质定理,可以判断这种情况下存在n个线性无关的特征向量,因之可以对角化

• 考虑到方阵可能有重特征根的情况,需要多一些步骤:

• 如果A对于一个$k_i$重特征根$\lambda_i$恰好有$k_i$个线性无关特征向量,是A可以对角化的充要条件
• 这意味着,方阵A要有n个线性无关的特征向量才可以对角化

对角化方法归纳

• 求出方阵A所有特征值
• 求解不同特征值$\lambda_i$对应的齐次线性方程$(\lambda_iE-A)=0$的基础解系

• 判断基础解系中包含的向量个数是否和特征值$\lambda_i$的重数一致
• 如果不一致,则A不可对角
• 如果所有特征值得重数$k_i$和对应$(\lambda_iE-A)=0$的基础解系向量个数一致,则可以对角化

• 如果可对角化,则需要求解出一个可逆矩阵P,使得$P^{-1}AP=\Lambda$

• 设A的n个线性无关特征向量为$\phi=\alpha_1,\cdots,\alpha_n$,则P=$(\phi)$
• 利用P计算$\Lambda=P^{-1}AP$,$\Lambda=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$

例

• $A=\begin{pmatrix} 2 & { - 1} & { - 1} \cr 0 & { - 1} & 0 \cr 0 & 2 & 1 \cr \end{pmatrix} \\ |\lambda{E}-A|=(\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda-1)=0$

• $\lambda_1=2,\lambda_2=-1,\lambda_3=1$都是单个,显然可以对角化

• $(\lambda_1{E}-A)x=0$

• $(2E-A)x=0 \\ 2E-A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \cr 0 & 3 & 0 \cr 0 & { - 2} & 1 \cr \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix}$

• $x_2=0 \\x_3=0 \\ x_1可以是任意常数 \\ 可以取基础解系为\alpha=(1,0,0)^T$

• $(\lambda_2E-A)x=0$

• $(-E-A)x=0 \\取基础解系\alpha_2=(0,-1,1)^{T}$

• $(\lambda_3E-A)x=0$

• $(E-A)x=0 \\取基础解系\alpha_3=(1,0,1)^T$

• $P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \cr 0 & { - 1} & 0 \cr 0 & 1 & 1 \cr \end{pmatrix} \\ \Lambda=diag(2,-1,1) \\且满足\Lambda=P^{-1}AP$

方阵高次幂

• 方阵高次幂的计算通常计算量比较大,但是如果方阵能够对角化,则可以简单计算

• 设$A$可以被对角化:存在可逆阵P,使得$P^{-1}AP=\Lambda$

• $A=P\Lambda{P^{-1}}$
• $A^n=(P\Lambda{P^{-1}})(P\Lambda{P^{-1}})\cdots(P\Lambda{P^{-1}})$

• $=P\Lambda{}(P^{-1}P)\Lambda{}(P^{-1}P)\Lambda\cdots \Lambda (P^{-1}P)\Lambda{P^{-1}}$
• $=P\Lambda^{n}P^{-1}$

• 而对角阵$\Lambda$的乘法(高次幂)运算比较简单