LA@方阵相似@相似矩阵的性质@正交相似对角化

文章目录

• 方阵相似

• 引言

• 相似矩阵定义
• 相似变换
• 相似变换矩阵
• 相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同
• 推论:与对角阵相似的矩阵性质定理

• 相似矩阵性质

• 导出性质

• 相似矩阵的乘方性质
• 相似矩阵和矩阵多项式

• 相似对角阵

• 对角阵多项式的展开
• 小结

• 强矩阵相似

• 对角化相似
• 正交相似
• 正交相似对角化

• 实对称方阵A正交对角化方法

方阵相似

引言

• 对角阵是矩阵中最简单的一类矩阵

• 对角阵相关的乘法运算是很高效的
• 相似方阵是和对角阵相关的概念

相似矩阵定义

• 设$\bold{{A},\bold{B}}$是$n$阶方阵,如果存在$n$阶可逆方阵$\bold{P}$,使得$\bold{P^{-1}{AP}={B}}$,则称方阵$\bold{A},\bold{B}$相似,记为$\bold{A}\sim{\bold{B}}$

相似变换

• 对$\bold{A}$进行运算$\bold{P^{-1}AP}$称为对$\bold{A}$进行相似变换

相似变换矩阵

• 矩阵$\bold{P}$称为相似变换$\bold{P^{-1}AP}$的相似变换矩阵

相似矩阵的矩阵多项式和特征值相同

• 若$n$阶矩阵$\bold{A,B}$相似,则$\bold{A,B}$的特征多项式相同,从而$\bold{A,B}$的特征值相同
• 证明:

• 由$\bold{A\sim{B}}$,有$\bold{P}$满足$\bold{P^{-1}AP=B}$
• 所以$f_{\bold{B}}(\lambda)$=$\bold{|B-\lambda{E}|}$=$|\bold{P^{-1}AP-\lambda{E}}|$
• 由于$\bold{P\lambda{E}P^{-1}}$=$\lambda\bold{PEP^{-1}}$=$\lambda\bold{PP^{-1}}$=$\lambda\bold{E}$,因此,可以将$\bold{\lambda{E}}$变形为$\bold{P(\lambda{E})P^{-1}}$或$\bold{P^{-1}(\lambda{E})P}$
• $f_{\bold{B}}(\lambda)=|\bold{P^{-1}AP-\bold{P^{-1}(\lambda{E})P}}|$=$|\bold{P^{-1}(A-\lambda{E})P}|$=$\bold{|P^{-1}||A-\lambda{E}||P|}$=$\bold{|P|^{-1}|A-\lambda{E}||P|}$=$\bold{|A-\lambda{E}|}$
• 显然$f_{\bold{A}}(\lambda)=f_{\bold{B}}(\lambda)$

• 但是,特征值相同的方阵未必相似

推论:与对角阵相似的矩阵性质定理

• 与对角阵相似的矩阵的特征值就是对角阵对角元素
• 若$n$阶矩阵$\bold{A}\sim{\Lambda(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)}$,则$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$是$A$的$n$个特征值
• 证明:对角阵的特征值是对角元素,由本节定理可知,$\bold{A}$的特征值与$\Lambda$相同,所以推论成立

相似矩阵性质

• $\bold{A}\sim{\bold{A}}$
• $\bold{A}\sim{\bold{B}}\Rightarrow{\bold{B}\sim{\bold{A}}}$

• $\bold{P}^{-1}\bold{A}\bold P=\bold{B},\bold{A}=\bold P\bold{B}\bold P^{-1}$

• $\bold{A}\sim{\bold{B}},\bold{B}\sim{\bold C}\Rightarrow{\bold{A}\sim{\bold C}}$

• $\bold{P^{-1}{A}P=\bold{B},Q^{-1}\bold{B}Q=C}$
• $\bold{QCQ^{-1}=\bold{B}=P^{-1}\bold{A}P}$
• $\bold{PQCQ^{-1}P^{-1}=\bold{A}}$
• $\bold{(PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}}$
• 因此$\bold{C\sim{{A}}}$

• 单位矩阵只和自身相似

• 设方阵$\bold{A}$和单位阵$\bold{E}$相似
• $\bold{P^{-1}{A}P=E}$
• $\bold{A=PEP^{-1}=E}$
• 因此和单位阵$\bold{E}$相似的矩阵是$\bold{E}$本身

导出性质

• 设$\bold{A,{B}}$相似$(\bold{A=P^{-1}BP})$,则有以下性质
• $|\bold{A}|=|\bold{B}|$

• $|\bold{A}|=|\bold P^{-1}\bold{B}\bold P|=|\bold P^{-1}||\bold{B}||\bold P|=|\bold P|^{-1}|\bold P||\bold{B}|=\bold{|B|}$
• 或者,因为相似方阵有相同的特征值,且特征值之积等于方阵的行列式,所以相似方阵的行列式相同

• $tr(\bold{A})=tr(\bold{B})$

• $\bold{A},\bold{B}$具有相同的特征值
• $tr(\bold{A})=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}$
• $tr(\bold{B})=\sum\limits_{i=1}^{n}b_{ii}=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i}$
• $\therefore tr(\bold{A})=tr(\bold{B})$

• $r(\bold{A})=r(\bold{B})$

• $\bold{A}=\bold P^{-1}\bold{B}\bold P$

• $\bold{P,P^{-1}}$都是可逆矩阵,它们都可以表示为一系列的初等矩阵的乘积
• 因此,$\bold{A}$相当于有$\bold{B}$经过初等变换得到的等价矩阵,它们的秩相等(初等变换不改变秩)

• $\bold{A}^T\sim{\bold{B}^T}$

• $\bold{P^{-1}{A}P={B}}$
• $\bold{(P^{-1}{A}P)^T={B}^T}$

• $\bold{P^T\bold{A}^T(P^{-1})^T=\bold{B}^T}$
• $\bold{P^T\bold{A}^T(P^{T})^{-1}=\bold{B}^T}$

• 可见$\bold{A}^T\sim{\bold{B}^T}$

• $\bold{A}^m\sim{\bold{B}^m}$

• $\bold{B}^m$=$(\bold P^{-1}\bold{A}\bold P)^m$

• =$(\bold P^{-1}\bold{A}\bold P)(\bold P^{-1}\bold{A}\bold P)\cdots{(\bold P^{-1}\bold{A}\bold P)}$
• $=\bold P^{-1}\bold{A}(\bold {PP}^{-1})\bold{A}(\bold P\bold P^{-1})\cdots{(\bold P\bold P^{-1})\bold{A}\bold P}$
• $=\bold P^{-1}\bold{A}^m\bold P$

• 设$\bold{A=P^{-1}BP}$<1>,若$\bold{A}^{-1}$存在,则$\bold{B}^{-1}$存在,且$\bold{A}^{-1}\sim{\bold{B}^{-1}}$,$\bold{A}^*\sim{\bold{B}^*}$

1. $\bold{B}$可逆:

• 方法1:

• $\bold{A}\sim{\bold{B}}\Rightarrow{|\bold{A}|=|\bold{B}|}=k$
• $\bold{A}^{-1}$存在,$|\bold{A}|\neq{0}$,则$|\bold{B}|=|\bold{A}|\neq{0}$

• 方法2:

• 由于$\bold{A}$可逆,则$\bold P^{-1}\bold{A}\bold P=\bold{B}$表明,$\bold{B}$是可逆矩阵经过一系列初等变换得到的,所以$\bold{B}$也可逆

1. 对<1>两边取逆:$\bold{A}^{-1}=\bold P\bold{B}^{-1}\bold P^{-1}$<1.1>,因此$\bold{A}^{-1}\sim{\bold{B}^{-1}}$
2. 因为$\bold{|A|=|B|}=k$,$k\neq{0}$

• $\bold{A}^{-1}=\frac{1}{|\bold{A}|}\bold{A}^*=k^{-1}\bold{A}^*$
• $\bold{B}^{-1}=\frac{1}{|\bold{B}|}\bold{B}^{*}=k^{-1}\bold{B}^*$
• 将<2>,<3>代入<1.1>,得$k^{-1}\bold{A}^*=\bold{P}(k^{-1}\bold{B}^*)\bold{P}^{-1}$
• $\bold{A}^*=\bold P^{-1}\bold{B}^*\bold P$,即$\bold{A}^*\sim{\bold{B}^*}$

相似矩阵的乘方性质

设$\bold{A,B}$相似,即$\bold{A=PB}\bold{P}^{-1}$<0>,则:$\bold{A}^k$=$\bold{P}\bold{B}^k{\bold{P}^{-1}}$<1>

• 证:对<0>两边同时取$k$次幂运算:$\bold{A}^k$=$(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})\cdots(\bold{P}\bold{B}{\bold{P}^{-1}})$

• =$\bold{P}\bold{B}(\bold{P}^{-1}\bold{P})\bold{B}{(\bold{P}^{-1}\bold{P})}\bold{B}\cdots\bold{B}(\bold{P}^{-1}\bold{P})\bold{B}{\bold{P}^{-1}}$
• =$\bold{P}\bold{B}^k{\bold{P}^{-1}}$

相似矩阵和矩阵多项式

• 设矩阵多项式$f(\bold{A})=\sum\limits_{i=0}^{m}a_i\bold{A}^i$<2>,将<1>代入<2>有:$f(\bold{A})$=$\sum\limits_{i=0}^{m}a_i\bold{A}^i$=$\sum\limits_{i=0}^{m}a_i(\bold P\bold{B}^i{\bold P^{-1}}))$=$\sum\limits_{i=0}^{m}\bold P(a_i\bold{B}^i){\bold P^{-1}}$,根据矩阵乘法的分配律,$f(\bold{A})$=$\bold{P}(\sum_{i=0}^{m}a_i\bold{B}^{i})\bold{P}^{-1}$=$\bold Pf(\bold{{B}})\bold P^{-1}$

相似对角阵

• 当$\bold{A}$相似于某个对角阵$\bold{\Lambda}$,则:

• $\bold{A}^k$=$\bold{P}\bold{\Lambda}^k{\bold{P}^{-1}}$
• $f(\bold{A})$=$\bold Pf(\bold{{\Lambda}})\bold P^{-1}$

• 由此可见,若矩阵$\bold{A}$能够表示成$\bold{A}=\bold P\Lambda{\bold P^{-1}}$(相似对角化问题),矩阵$\bold{A}$的多项式问题就能够被转换为对角阵的多项式

对角阵多项式的展开

• $f(\bold\Lambda)=\sum_{i=0}^{m}a_{i}\bold\Lambda^{i}$=$\text{diag}(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n))$,
• 推导:

• 对角阵乘方运算性质:若$\bold\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})$为对角阵,则$\bold\Lambda^k$=$\mathrm{diag}(\lambda_1^k,\lambda_{2}^k,\cdots,\lambda_{n}^k)$
• $\begin{aligned} f(\Lambda) =&\small{a_0\begin{pmatrix} {{1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{ 1}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{1}} \cr \end{pmatrix} +a_1\begin{pmatrix} {{\lambda _1}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n}} \cr \end{pmatrix} +\cdots +a_n\begin{pmatrix} {{\lambda _1^n}} & {} & {} & {} \cr {} & {{\lambda _2^n}} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & {{\lambda _n^n}} \cr \end{pmatrix}} \\ =&\begin{pmatrix} \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_1^{i} & {} & {} & {} \cr {} & \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_2^{i} & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & \sum_{i=0}^{m}a_{i}\lambda_n^{i} \cr \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} {f({\lambda _1}}) & {} & {} & {} \cr {} & f({{\lambda _2}}) & {} & {} \cr {} & {} & \ddots & {} \cr {} & {} & {} & f({{\lambda _n}}) \cr \end{pmatrix} \end{aligned}$
• 这个展开式告诉我们,对角阵(矩阵)的多项式可以归结为数(标量)的多项式的计算

小结

• 上述结论说明,相似阵之间有很多共同点
• 特别是,当$\bold{A}$有一个与之相似的对角阵时,许多关于$\bold{A}$的计算就可以被简化,例如矩阵多项式的计算,这个问题归结为方阵相似对角化

强矩阵相似

对角化相似

• 若方阵$\bold{Q^{-1}AQ=\Lambda}$,$\bold{\Lambda}$是对角阵,则称$\bold{A}$对角化相似于$\bold B$
• 这是一种重要的相似关系,"对角化"指的是原矩阵$\bold{A}$被相似对角化为一个对角阵,这使得许多计算变得简单,特别是矩阵多项式的相关计算种

正交相似

• 若方阵$\bold{Q^{-1}AQ=B}$,$\bold{Q^{-1}=Q^{T}}$,则称$\bold{A}$正交相似于$\bold B$
• 这里的正交相似的正交体现在相似变换阵是一个正交阵上,而不是说将原矩阵$\bold{A}$转换为一个正交阵

正交相似对角化

• 正交相似对角化:若方阵$\bold{Q^{-1}AQ=\Lambda}$,$\bold{Q^{-1}=Q^{T}}$,则$\bold{A}$正交相似于对角阵$\bold{\Lambda}$,称$\bold{A}$正交相似对角化
• 在对称阵的对角化相关定理中,利用本概念,可以描述定理:对称阵一定可以正交相似对角化

实对称方阵A正交对角化方法

• 求出实对称阵A的全部特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_m$(对称阵一定可以正交对角化)

• 如果特征值$\lambda_i$是单根,则从$f(\lambda_i)=0,即(\lambda_iE-A)x=0$对应的求出一个特征向量$\alpha_i$
• 如果特征值$\lambda_i$是$n_i$重根,$\sum_{i=1}^{m}n_i=n$

• 则从$f(\lambda_i)=0$求出$n_i$个线性无关特征向量$A_i=\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{n_i}$,$i=1,\cdots,m$
• 对$A_i$执行Schmidt正交化得到$B_i$,$i=1,\cdots,m$
• 对$B_i$在执行Normalization单位化得到$C_i$,$i=1,\cdots,m$

• 将得到的所有标准正交特征向量组$C_i$中的向量依此排列起来得到正交矩阵$\bold C$=$(\bold{c}_{11},\cdots,\bold{c}_{1n_1},\cdots,\bold{c}_{m1},\cdots,\bold{c}_{m,n_m})$,$\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$