动态规划(dynamic programming)简称DP。
先看几个简单的问题：
1，斐波那契数列
1,1,2,3,5,8......
求第n项
int fac(int n)
{
if(n<3)return 1;
return fac(n-1)+fac(n-2);
}
时间复杂度O (1.6 ^ n)
递归写法（备忘录法）：
int ans[1000]={0};
int fac(int n)
{
if(n<3)return 1;
if(ans[n])return ans[n];
return ans[n]=fac(n-2)+fac(n-1);
}
非递归写法：
int ans[1000]={0,1,1};
int fac(int n)
{
for(int i=3;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]+ans[i-2];
return ans[n];
}
递归写法不需要控制DP的计算顺序，非递归写法需要严格控制计算顺序。
读者可此处思考一下上述递归写法的实际计算顺序，假设编译器是默认先执行加法左边的，再执行加法右边的。
两种写法的时间复杂度都是O（n）
为什么差异这么大？
这就是DP的第一个重要特性：重叠子问题
2，求数列中位数
这个题，能不能像上一题这么做呢？
如果我用f(n)表示数列前n个数的中位数，那么，由f(n-1)和f(n-2)可以直接推导出f(n)吗？
不能！
差异在哪？差异在于问题本身的性质不同。
这种由子问题的答案可以直接推导出原问题答案的性质，其实就是最优子结构。
最优子结构：问题的最优解包含了子问题的最优解。
再来看看一个动态规划的题目，当我们分析它的时候，我们在想些什么？
3，数列的DP问题
一维
力扣 OJ 300. 最长上升子序列
力扣OJ 1218. 最长定差子序列
二维
力扣 OJ 1143. 最长公共子序列
CSU - 1060 Nearest Sequence （三个数组的最长公共子序列）
4，最短路问题
动态规划的题目，当我们分析它的时候，主要就是：
问题研究的对象、问题的子问题、最优子结构（即递推式）、解空间结构
递归写法和非递归写法其实都是解空间的遍历，而绝大部分问题的解空间都可以映射为树空间，树的遍历主要就是DFS和BFS，递归基本上就是DFS。
什么是解空间结构？
解空间就是问题可能的解组成的集合，根据问题的属性，空间的结构也有不同，有的是数组有的是树等等。
按照问题研究的对象类型和解空间结构，DP问题可以分为数列DP、区间DP、树形DP、数位DP、状态压缩DP、概率与期望DP、高维DP等等。
DP的更深用法：
空间压缩、时间优化
