最长上升子序列问题（动态规划）

原创

VII 2023-05-26 15:01:05 博主文章分类：dp专题 ©著作权

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一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

讲解：这个问题可以简化为求以

$a_{k}$

（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”，一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。

虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。maxn (k)表示以

$a_{k}$

做为“终点”的最长上升子序列的长度那么：初始状态：maxn (1) = 1，maxn (k) = max { maxn (i)：1<=i < k 且

$a_{i}$

$a_{k}$

且 k≠1 } + 1。若找不到这样的i,则maxn(k) = 1，maxn(k)的值，就是在

$a_{k}$

左边，“终点”数值小于

$a_{k}$

，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为

$a_{k}$

左边任何“终点”小于

$a_{k}$

的子序列，加上

$a_{k}$

后就能形成一个更长的上升子序列。代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n,maxn[1010],a[1010];
    cin >> n;
    for(int i = 0;i < n; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        maxn[i] = 1;
    }
    for(int i = 1;i < n; i++)
    {
        for(int j = 0;j < i; j++)
        {
            if(a[i] > a[j])
            {
                maxn[i] = max(maxn[i],maxn[j] + 1);
            }
        }
    }
    sort(maxn,maxn + n);
    cout << maxn[n - 1] << endl;
}

PS：本文讲解使用了郭炜老师课件里的原文