算法（algorithm）是用来完成计算任务的一系列有限步骤。由于算法与计算机编程的关系特别密切，因此很多人或许认为，算法是一个来自计算机科学专业的概念。其实算法这个词已经有几千年历史了。数学中充满了各种各样的算法，有些算法我们天天在用，就连小学生计算加法时所用的竖式（long addition）都可以说是一种算法。

尽管算法的历史很悠久，但它并不是天生就有的，而是由人发明出来的。虽然我们并不清楚第一个发明算法的人是谁，但我们知道，早在四千多年前埃及就已经有了某些算法。

在我们的通常观念中，逻辑简单的问题是不需要算法的，需要算法的都是逻辑比较复杂的问题（比如OJ上的题目）

几千年前，人们用绳子计数，在这个时代，乘法就是一个比较困难的问题，需要算法。

埃及乘法/俄罗斯农夫算法

这种算法所依据的原理是：4a = ((a+a)+a)+a = (a+a) + (a+a), 这个原理是根据加法结合律推算出来的。

如果采用这个办法，那么只需把a+a的值计算一次就行了，这样可以降低加法运算的次数。

埃及乘法算法的思路是：反复地将n减半，并将a加倍，同时求出a的各种倍数，这些倍数与a的比值都是2的整数次幂。

41*59 = 1*59 + 8*59 + 32*59

由于该算法在将n减半的时候需要判断n是奇数还是偶数，因此尽管没有直接的证据，但我们依然能够推测出：古埃及人已经知道了奇数和偶数之间的区别。

埃及乘法，在ACM里面一般叫做快速乘法（算法和快速幂差不多，所以叫法一致）

#define ll long long

ll g(ll a, ll b, ll p)//a*b
{
  if (b == 0)return 0;
  ll r = g(a, b / 2, p);
  r = (r + r) % p;
  if (b % 2)r = (r + a) % p;
  return r;
}

快速乘法参考：CSU 1162: Balls in the Boxes（快速幂、快速乘法

4，列竖式计算乘法 VS 埃及乘法

列竖式计算两位数的乘法大概是这样的：

数学与泛型编程（1）埃及乘法、加法链数学与泛型编程（2）群_泛型编程

诶及乘法用二进制表示大概是这样的：

数学与泛型编程（1）埃及乘法、加法链数学与泛型编程（2）群_泛型编程_02

当然，诶及乘法和二进制列竖式乘法还是有差异的，诶及乘法不涉及进制转换，所以上图的上面一半是二进制列竖式乘法，下面一半才是埃及乘法。

5，十进制 VS 二进制

列竖式计算乘法和埃及乘法在泛进制的角度上来看是一样的。

（1）为什么人类使用十进制，机器使用二进制？

因为人类有十个手指头，机器的电路有开关两种状态，各自用各自方便的进制基数。

（2）列竖式计算乘法是怎么来的？

并不是每个国家的小学生计算两位数的乘法的方法都和中国一样，甚至据说有些国家的学生到了小学毕业还是觉得计算乘法很难，因为他们的计算方法不一样，而且据说别的语言的九九乘法表没有汉语这么顺口好记。

我推测，应该是在有了阿拉伯数字和九九乘法表之后，埃及乘法就被合理改造成列竖式计算乘法了。

从这个角度来说，埃及乘法计算一个泛型算法，进制就是数据结构的差异，就好像max函数可以传入int也可以传入double一样。

补更：我在本书中刚好发现了这个科普：

0的突破发生在公元1203年。这一年，比萨的列奥那多（Leonardo Pisano，也称为斐波那契，Fibonacci）出版了一本名为《计算之书》（Liber Abaci）的著作，其中不仅介绍了0与十进制位值计数法，而且首次向欧洲人讲述了算术运算的标准步骤，也就是怎样用竖式来计算加减乘除，这些步骤直到今天依然在小学课堂上传授。我们可以说，列奥那多一举将数学带回了欧洲。

（3）埃及乘法是二进制吗？

二进制应该是近代才发明的，据说是牛顿的老对手莱布尼茨发明的。

埃及乘法被发明的时候没有二进制，用绳子计数只有加减法，没有很强的乘法的概念，更没有除法，也更不会涉及进制转换了。

那为什么埃及算法刚好契合二进制呢？因为，加法是二元操作符，而且，绳子计数可以很快的进行除2操作！

虽然没有除法，但是把绳子对折，这就是天然的除2啊，书中也提到，这个时候的人们应该已经有奇数和偶数的概念了。

书中也提到相关概念，这种乘法是依赖加法结合律的，也就是a+a+a+a+a+a = (a+a) + (a+a) + (a+a)

看到了吗？每个括号都是把2个数括起来，让6个数相加的问题变成了3个数相加的问题。