目录
1，环
环的定义
环的例子
环的性质
4，半环
1，环
环的定义
环是具备相关定义且遵循相关公理的集合。它必须定义下面三项运算及两个常量：
并遵循下面几条公理：
环的例子
- 整数，即全体整数和加法乘法构成的环
- 带有实系数的n×n矩阵
- 高斯整数（实部和虚部都是整数的复数）
- 整系数多项式
环的性质
（1）每个环都是加法群，而由于所有的加法群均为阿贝尔群，因此，每个环也都是阿贝尔群。
（2）可逆元素
对于环中的元素x来说，如果可以找到符合下列等式的元素x^-1，那么x就是可逆的
每个环都至少包含一个可以逆元素，也就是1。有些环可能会有多个可逆元素，例如整数环Z，就有1与-1这两个可逆元素。
环中的可逆元素，称为该环的单位（又称可逆元）
（3）环的可逆元在乘法之下闭合（也就是说，两个可逆元的乘积，依然是可逆元）
2，交换环和非交换环
如果环遵循xy=yx这一公理，那么它就是交换环，否则就是非交换环。
非交换环通常来自线性代数领域，如带有实系数的n×n矩阵，
代数整数环、高斯整数、整系数多项式都是交换环。
这两种环分别衍生出抽象代数的两个分支，也就是交换代数及非交换代数。
3，零因子、整环
环中的元素x若满足x≠0，且能找到y≠0，使得xy=0，则称为零因子。
例如，在整数模6的剩余类环Z6中，2与3就是零因子。
不含零因子的交换环，称为整环。
整环的例子：
- 整数
- 高斯整数
- 整系数多项式
4，半环
半环是具备相关定义且遵循相关公理的集合。它必须定义有下列两种运算及两个常量：
并遵循下列几条公理：
半环比环少一个运算，少一条公理。
5，半环的应用举例——社交网络
社交网络中，著名的六度空间理论（有人提出现在已经是四度了），用矩阵表示就是：
假设地球有70亿人，那么我们制作一个70亿行70亿列的0-1矩阵A，那么A^6一定是一个所有元素都是1的矩阵。
而且在矩阵相乘的过程中，我们可以找到一个人到另外一个人的最短相识链（链的长度最少是1最多是6）
6，欧几里得整环
如果E满足下列三项条件，那么它就是欧几里得整环：
E是整环
E具备求商（quotient）及求余（remainder）操作，并满足：
E具有非负的范数||x||：E→N，并满足：
注：上面这2个并满足的条件，其实只是对文字内容做解释而已，并不是额外条件。此处的“范数”，对于整数来说，它指的是绝对值，对于多项式来说，它指的是次数，而对于高斯整数来说，它指的则是该数作为复数所具备的范数。然而无论它具体指的是什么，其重要之处都在于：它能够与自然数相对应，并且会在计算余数的过程中逐渐减小并归零。
欧几里得算法的适用领域是欧几里得整环。
我们把欧几里得算法从整数推广到欧几里得整环的过程中，可以看出一条重要原则：
如果想令算法变得通用，那就别增加额外的机制，而是应该去除各种约束，从而将算法的本质凸显出来。
