一，理想
1，理想的定义
理想I，是环R中符合下列条件的非空子集
∀x,y∈I:x+y∈I
∀x,y∈I:x+y∈I
理想其实是理想子环的简称。
2，线性组合理想
对于环中的任意两个元素a与b来说，由形如xa+yb的全部元素所构成的集合，是一个理想。
线性组合理想中的所有元素，都可以为a与b的任意公因子所整除。
3，欧几里得整环中的理想
欧几里得整环中的任意理想，都对求余运算及欧几里得最大公约数（GCD）运算封闭。
二，主元素、主理想
对于环R中的理想I来说，如果有元素a∈R符合下列条件，那么它就是I的主元素，而I则称为R的主理想
x∈I⇔∃y∈R:x=ay
换句话说，主理想就是可以由某个元素而生成的理想。
例如，由偶数所构成的集合是主理想，2是它的主元素。
所有理想均为主理想的整环，叫做主理想整环（principal ideal domain，PID）。
比方说，整数环就是个PID，而整数上的多元多项式则不是PID。
每个欧几里得整环，都是主理想整环。
三，贝祖等式
∀a,b,∃x,y:xa+yb=gcd(a,b)
即，欧几里得整环中的线性组合理想I={xa+yb}，包含gcd（a，b）。
