矩阵分析(1)--一些基本概念

线性变换与矩阵

一个线性变换与一个矩阵相对应

例如，设有线性空间V1和V2，T为V1到V2上的某个线性变换，则有一个矩阵A与变换T对应

如何确定这个线性变换对应的矩阵？方法如下:

设{${e_i}$}为V1的n个基

设{$f_j$}为V2的m个基

$T： V_1\longrightarrow V_2$

对每个$e_i$进行线性变换即

$\begin{aligned} &T e_{1}=a_{11} f_{1}+a_{21} f_{2}+\ldots+a_{m 1} f_{m} \\ &T e_{2}=a_{12} f_{1}+a_{22} f_{2}+\ldots+a_{m 2} f_{m} \end{aligned}$

$\vdots$

$T e_{n}=a_{1 n} f_{1}+a_{2 n} f_{2}+\ldots+a_{m n} f_{m}$

在经过如上的n次变化后，把每行写成一个列(column)，从而可以得到如下矩阵
$A_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right]$
A is a matrix over $\mathbb{C}$

一些典型的基变换

考虑一个n维的线性空间V1，其基为{$e_i$}。以及一个m维的线性空间V2，其基为{$f_j$}。矩阵A代表从V1到V2上的线性变换对应的矩阵

$A=\left[a_{i j}\right] \mapsto T: \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{m}$

1. 空间V1找另一组新基$e'$

A表示: V1的基为{$e_i$}、V2的基为{$f_j$}时，变换T所对应的矩阵

B表示: V1的基为{$e_i'$}、V2的基为{$f_j$}时，变换T所对应的矩阵

X表示: V1从基{$e_i$}到基{$e_i'$}的线性变换$I_{V_1}$对应的矩阵

则矩阵A=BX

其实很好理解，注意，矩阵的乘法是右边开始结合的。对等式A=BX考察等式右边: 先有X，X表示从{$e_i$}指向{$e_i'$}；然后是B，表示从{$e_i’$}指向{$f_j$}；联合起来看，就是从{$e_i$}指向{$f_j$}，也就是等式左边矩阵A的含义

2. 空间V2找一组新基{$f_j'$}

3. V1和V2都换一组新基

4. 空间V1和V2为同一个空间的不同基，则

注: 此时矩阵A和矩阵B称为相似矩阵。换句话说，相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的不同表示

下面讨论正交规范基（orthonormal bases）的形式，简写为o.n. bases

下面的5、6、7、8条分别与上面的1、2、3、4条有对应关系

5. 对V1换基，则:

$\text { different o.n. bases in } V_{1} \text {, same o.n. in } V_{2} \leftrightarrow A=B U, U \quad n \times n \text { unitary }$

unitary矩阵即酉矩阵(或称幺正矩阵)

6. 对V2换基，则

$\text { same o.n. in } V_{1} \text {, different o.n. in } V_{2} \leftrightarrow A=V B, V \quad m \times m \text { unitary }$

7. V1和V2都换基

$\text { different o.n. in } V_{1} \& V_{2} \leftrightarrow A=V B U$

8. V1和V2为同一个线性空间

$\text { different o.n bases of } V_{1}=V_{2}: A=U^{*} B U, U \quad n \times n \text { unitary }(A \cong B: A, B \text { are unitarily equiv.) }$

此时即矩阵A和矩阵B有酉等价(unitarily equiv.)关系。

参考

• ​​國立交通大學 應用數學系 吳培元老師 矩阵分析​​