矩阵分析(2)--正规矩阵和二阶方矩的性质

正规矩阵

正规矩阵是很重要也很特殊的一类矩阵，因为它能使得谱定理成立，也一定能够酉相似对角化

在数学中，正规矩阵 (英语: normal matrix) $\mathbf{A}$ 是与自己的共轭转置满 足交换律的实系数方块矩阵，也就是说， $\mathbf{A}$ 满足

$\mathbf{A}^{*} \mathbf{A}=\mathbf{A} \mathbf{A}^{*}$

其中 $\mathbf{A}^{*}$ 是 $\mathbf{A}$ 的共轭转置。

如果 $\mathbf{A}$ 是实系数矩阵, 则 $\mathbf{A}^{*}=\mathbf{A}^{T}$, 从而条件简化为 $\mathbf{A}^{T} \mathbf{A}=\mathbf{A} \mathbf{A}^{T}$ 其 中 $\mathbf{A}^{T}$ 是 $\mathbf{A}$ 的转置矩阵。

• 前面说到，一个线性变换可以用矩阵来表示。而正规算子用矩阵来表示，得到的就是一个正规矩阵。任何一个正规矩阵，都是某个正规算子在一组标准正交基下的矩阵；反之，任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。从这里看出来，因为正规算子是很稀少的，所以正规矩阵也是很稀少的一种矩阵
• 矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法: 任意正规矩阵都 可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后 变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。矩阵可酉相似对角化的充要条件是它为正规矩阵(注意是对角化不是三角化)。还要注意一点，相似对角化的条件很弱(特征向量够多)，酉相似对角化的条件很强(需要正规矩阵)

对二阶方阵的一些分析

首先明白一个定理: 任何矩阵都可以通过相似变换变换为上三角矩阵

1. 标准形式

$\text { Thm. } T \quad 2 \times 2 \Rightarrow T \cong\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & c \end{array}\right], \mathrm{b} \geq 0 \text {, uniquely (except a,c may interchange) }$

2. 酉等价

$T_{1}, T_{2} 2 \times 2$

(i) $T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow$ same canonical form.

(ii) $T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow \underbrace{\operatorname{tr} T_{1}=\operatorname{tr} T_{2}, \operatorname{tr} T_{1}^{2}=\operatorname{tr} T_{2}^{2}}_{\mathbb{\downarrow}} \& \operatorname{tr}\left(T_{1}^{*} T_{1}\right)=\operatorname{tr}\left(T_{2} * T_{2}\right)$

$T_{1}, T_{2}$ same eigenvalues. Hilbert-Schmidt norm same

(Reason: $\operatorname{tr} T=$ sum of eigenvalues of $T$ )

(iii) $T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow \underbrace{\operatorname{tr} T_{1}=\operatorname{tr} T_{2}, \operatorname{det} T_{1}=\operatorname{det} T_{2}}_{\mathbb{\downarrow}} \&\left\|T_{1}\right\|_{F}=\left\|T_{2}\right\|_{F}$.

same eigenvalues.

(Reason: $\operatorname{det} T=$ product of eigenvalues of $T$ )

(iv) $T_{1} \cong T_{2} \Leftrightarrow W\left(T_{1}\right)=W\left(T_{2}\right)$.

3. 一些数值性质

Def. $T \in n \times n, W(T)=\left\{\langle T x, x\rangle: x \in \mathbb{C}^{n} ;\|x\|=1\right\} \subseteq \mathbb{C}$

Hausdorff-Toeplitz:

$W(T)$ is convex in $\mathbb{C}$.

Thm. (O. Toeplitz, 1918)

$T=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right] \Rightarrow W(T)=$ elliptic disc, foci at $a, c$ & length of minor axis $=|\mathrm{b}|$.

即对长度为1的向量来说，用内积<Tx,x>张成的一定是一个凸集。不仅如此，海是一个以a、c为焦点、以b为短轴长度的椭圆

参考

• ​​国立交大 吴培元 矩阵分析​​
• 任意n阶矩阵都可以三角化的证明