代数学笔记7: 交换群结构定理,群在集合上的作用

交换群结构定理

$G\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_n\mathbb{Z}, \quad d_1|d_2,\cdots,d_{n-1}|d_n$

群在集合上的作用

集合$\Omega$, 群$G$, $\rho$是群同态, $\rho(g)$是双射.
$\begin{aligned} \rho: G&\longrightarrow S_\Omega\\ g&\longmapsto \rho(g) \end{aligned}$
其中
$\begin{aligned} \rho (g): \Omega&\longrightarrow \Omega\\ \omega&\longmapsto \rho(g)(\omega)\triangleq g(\omega) \end{aligned}$
$\rho$保持运算, 即
$\rho(gh)=\rho(g)\cdot \rho(h),$
$\iff \forall \omega\in \Omega$,
$\rho(gh)(\omega)=\rho(g)\big(\rho(h)(\omega)\big)\ \ or\ \ gh(\omega)=g\big(h(\omega)\big).$

• 轨道: $\forall \omega\in\Omega$, $\text{Orb}(\omega)=G\omega=[\omega]=\{g(\omega)|g\in G\}$, (类比一个等价类)
• 稳定子群: $G_\omega=\text{Sta}(\omega)=\{g\in G|g(\omega)=\omega\}$,
• 轨道中元素个数和稳定子群阶数的关系:
  $[G:G_\omega]=\frac{|G|}{|G_\omega|}=|G\omega|.$
• 群作用是单射: 群作用是**忠实(faithful)**的.

例子:
$G=\mathcal{S}_n,\Omega=\{1,2,...,n\}$, 则
$G_1=\{g|g(1)=1\}\cong \mathcal{S}_{n-1}.$
例子:
$G=\text{Gal}(E/F)$,
$\forall g\in G,g:E\to E\quad (\text{双射})$
$E$是$F$上关于$f$的分裂域, $f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n), \ \Omega=\{\alpha_1,...,\alpha_n\}$, $G\lesssim \mathcal{S}_{E}$, 将群作用限制在$\Omega$上, 则
$G\lesssim \mathcal{S}_{\Omega}=\mathcal{S}_n,$
上述的群作用是否仍然是忠实的?(单射) 是.

如果$G$是$S_\Omega$上的子群,