代数学笔记3: 分裂域

前面的话

介绍完域扩张(其实前面写的有点简略了,并没有结合环的部分, 导致叙述起来连贯性没有那么强), 就该来分裂域这部分了, 这里我有一本十分推荐的教材《代数学基础》(张英伯,王恺顺著), 里面对一些定义和定理的阐述非常细致, 也比较适合入门, 大家如果需要资源的话可以私信我.

分裂域引入

关于分裂域部分, 其实分裂域就是前面所述干域(单扩张)的一个推广, 利用分裂域的一些性质可以很方便的得到Galois的基本理论, 以及很多关于方程可解的条件等, 可以说是深入代数学核心思想的一个重要工具.

定义

设$f(x)\in F[x]$是$n$次多项式, 若存在$K$的扩域$L$, 使得$f(x)=c(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$, 其中$\alpha_i\in L$, 则称$K(\alpha_1,\,\cdots,\,\alpha_n)$为$L$中关于$f$的分裂域.

(其中系数$c$保证了多项式$f(x)$不是首一多项式时也成立)

从定义就可以看出, 分裂域的构造相当于是在单扩张的基础上, 进行扩域的构造, 以得到$f$的唯一因子分解.

分裂域的存在唯一性

存在性

如果$f$为一次多项式, 显然成立;

如果$f$次数大于1, 假设存在性对$n-1$次多项式成立. 设在$F[x]$中,
$f(x)=p(x)g(x),$
其中$p(x)$为$F$上的首一不可约多项式.

作干域$F(\alpha_1)$, 使得$\alpha_1$在$F$上的极小多项式为$p(x)$, 于是有
$f(\alpha_1)=p(\alpha_1)g(\alpha_1)=0,$
因此$f(x)$在$F(\alpha_1)$上可以分解为
$f(x)=(x-\alpha_1)f_1(x).$

由归纳假设, 设$f_1(x)$在$F(\alpha_1)$上的分裂域为$E$, 那么$f_1(x)$可以在$E[x]$中分解为$f_1(x)=c(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$.于是$f(x)$在$E[x]$中分解为:
$f(x)=c(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n).$
所以$E=F(\alpha_1)(\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$为$f(x)$在$F$上的分裂域.

我们可以从证明中还可以得到:
$[F(\alpha_1,\,\cdots,\,\alpha_n):F]\leqslant n!$

求分裂域

设$f(x)=x^3-2\in\mathbb{Q}[x]$为有理数域上的3次不可约多项式, 令$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$, 则
$f(x)=(x-\sqrt[3]2)(x-\sqrt[3]2\omega)(x-\sqrt[3]2\omega^2),$
为$f(x)$在$\mathbb{C}[x]$中的分解. 求$f(x)$在$\mathbb{Q}$上的分裂域.

由分解式显然可知分裂域为$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\sqrt[3]2\omega, \sqrt[3]2\omega^2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$.

唯一性

只需证一个给定多项式在域$F$上的分裂域是同构的.

由于这里的严密证明需要用到环同态的一些概念, 在之后的部分我们再来细讲. 这里大概说一下思路:

通过单扩张构造扩域链, 只需找如下的同构映射
$\rho: K(\alpha_1,\,\cdots,\,\alpha_n)\to K(\beta_1,\,\cdots,\,\beta_n)$
以第一个扩域为例, 其上的极小多项式记为
$p_1(x)=k_1+k_2x+\cdots+k_sx^{s-1}$
$\deg(p)=s$, 且有$p_1(\alpha)=0$.通过$\rho$作用, 可得到:
$\rho(p_1(\alpha))=k_1+k_2\rho(\alpha)+\cdots+k_s\rho(\alpha^{s-1})=0$
即可知$p(\beta)=0$, $\beta=\rho(\alpha)$为$p(x)$在$E$中的一个根.

于是可知$p(x)$也为像的极小多项式, 由此, 我们找到了这样一个域同态.

下面介绍关于自同构群的定义:

自同构群

设$E$是一个域, 则$E$的全体自同构的集合关于变幻的合成构成一个群, 称为$E$的自同构群(automorphism group), 记作$\text{Aut}(E)$.

例子: 求分裂域的自同构群

例1: 设$f(x)=x^3-2\in\mathbb{Q}[x]$为有理数域上的3次不可约多项式, 令$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$, 则
$f(x)=(x-\sqrt[3]2)(x-\sqrt[3]2\omega)(x-\sqrt[3]2\omega^2),$
为$f(x)$在$\mathbb{C}[x]$中的分解. 令$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2, \sqrt[3]2\omega, \sqrt[3]2\omega^2)$, 试找出$E$的自同构群$\text{Aut}(E)$中的元素.

只要找$E\to E$的同构映射, 对于$E$来说, 首先要找到其扩域是如何生成的, 于是, 作扩域链如下
$\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]2, \sqrt[3]2\omega)\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\sqrt[3]2\omega, \sqrt[3]2\omega^2)=E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$
(最后一个等号是因为最后一个根可以由前两根表示)

为方便起见. 我们用$\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3$分别表示三个根$\sqrt[3]2,\sqrt[3]2\omega, \sqrt[3]2\omega^2$, 则

思路1: (通过极小多项式变换来找自同构)

• 对于第一个域$\mathbb{Q}$, 很显然其到$E$的同构映射只有$id$(identity,恒同映射).
• 对于第二个域$\mathbb{Q}(\alpha_1)$, 设有一映射$\rho_1:\mathbb{Q}(\alpha_1)\to E$ 满足条件, 则对于$\rho_1$的选取, 有如下三种选择:
  $\rho_1:\begin{cases} \alpha_1\mapsto \alpha_1\qquad(1)\\ \alpha_1\mapsto \alpha_2\qquad(2)\\ \alpha_1\mapsto \alpha_3\qquad(3)\\ \end{cases}$
  设$p_1(x)=x^3-2\in \mathbb{Q}[x]$为$\mathbb{Q}$上的极小多项式, 其扩域$\mathbb{Q}(\alpha_1)$下的极小多项式为
  $p_2(x)=x^2+\alpha_1x+\alpha_1^2\in\mathbb{Q}[x],$
  显然$p_2(x)$在复数域中有两根$\alpha_2,\alpha_3$.
  这里以$(3)$为例, 将$\rho_1$作用于该多项式, 即可得到:
  $\begin{aligned} \rho_1(p_2(x)) &=x^2+\alpha_3x+\alpha_3^2\\ &=\frac{x^3-\alpha_3^3}{x-\alpha_3}=\frac{x^3-2}{x-\alpha_3}\\ \end{aligned}$
  对于上述映射得到的像, 显然有两个根$\alpha_1,\alpha_2$, 所以我们可以得到两个自同构如下:
  $\begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_3&\alpha_1&\alpha_2\\ \end{pmatrix}= (132) ,\qquad \begin{pmatrix} \alpha_1&\alpha_2&\alpha_3\\ \alpha_3&\alpha_2&\alpha_1\\ \end{pmatrix}=(13)$
  同样, 取$\rho_1$为$(1)$和$(2)$,可分别得到:$(1),\,(23)$和$(12),\,(123)$.
  于是, 我们找到了6个自同构, 即$|\text{Aut}(E)|=6$, 且$\text{Aut}(E)=\mathcal{S}_3$.

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思路2: (这里我借鉴一下《代数学基础》这本书中关于如何寻找分裂域的自同构群的方法, 感觉这个方法更加易懂一些.)

由思路1可知, $f(x)$在$\mathbb{Q}$上的分裂域为$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\,\omega)$. 于是根据维数公式可以得到:
$[E:\mathbb{Q}]=[E:\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)]\cdot[\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]=2\times3=6$
可以得到$|\text{Aut}(E)|=6$.

任取$\sigma\in\text{Aut}(E)$, $\sigma$在$f(x)$的根集上的作用取决于$\sigma(\sqrt[3]2)$和$\sigma(\omega)$.

下面分别来进行讨论:

• $\sigma(\omega)$
  $\omega$在$\mathbb{Q}$上的极小多项式为$x^2+x+1$, 所以其像为$\omega,\,\omega^2$.
• $\sigma(\sqrt[3]2)$
  $f(x)$是$\sqrt[3]2$在$\mathbb{Q}$上的极小多项式, 所以其像为$\sqrt[3]2,\sqrt[3]2\omega, \sqrt[3]2\omega^2$.

对于$\text{Aut}(E)$中的元素, 其只可能是上述两种情况的组合, 即下面的$2\times3=6$种对应:
$\begin{array}{ccc} \omega\mapsto\omega,\sqrt[3]2\mapsto\sqrt[3]2&\omega\mapsto\omega,\sqrt[3]2\mapsto\sqrt[3]2\omega&\omega\mapsto\omega,\,\sqrt[3]2\mapsto\sqrt[3]2\omega^2\\ \omega\mapsto\omega^2,\,\sqrt[3]2\mapsto\sqrt[3]2&\omega\mapsto\omega^2,\,\sqrt[3]2\mapsto\sqrt[3]2\omega&\omega\mapsto\omega^2,\,\sqrt[3]2\mapsto\sqrt[3]2\omega^2\\ \end{array}$
上面的六组对应关系进行复合后恰好得到了$\mathcal{S}_3$.

注: 上面这个例子虽然在分裂域部分引入, 但是其也可以作为Galois基本定理的一个例子, 其中包含了中间域到正规子群的一一对应, 在之后的部分我们还会提到这个例子.

例2. $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2),\,K=\mathbb{Q}$. 求分裂域$E$ 的自同构群$\text{Aut}(E)$.

只能找到如下一个自同构
$\begin{aligned} \mathbb{Q}(\sqrt[3]2)&\to\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\\ a+b\sqrt[3]2+c(\sqrt[3]2)^2&\mapsto a+b\sqrt[3]2+c(\sqrt[3]2)^2 \end{aligned}$

于是$\text{Aut}(E)=\{(1)\}$.