行列式性质与计算

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写在前面

总结高等代数中的行列式(determinant)，以及可能用到的一些解题技巧。

行列式的性质

1. 行列互换，行列式不变；
2. 一行的公因子可以提出去，或者以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式；
3. 如果行列式中一行为0，那么行列式为0；
4. 某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式除此行外与原来的行列式对应的行相同；
5. 如果行列式中有两行相同，那么行列式为0；
6. 行列式中有成比例的两行，则行列式为0；
7. 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变；
8. 对换行列式中两行的位置，行列式反号。

行列式的计算

行列式的按行展开

设

$d= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix},$
$A_{ij}$表示行列式元素$a_{ij}$的代数余子式，则有
$\begin{aligned} \sum_{s=1}^na_{ks}A_{is}&= \begin{cases} d,&\text{当}k=i,\\ 0,&\text{当}k\neq i; \end{cases}\\ \sum_{s=1}^na_{sl}A_{sj}&= \begin{cases} d,&\text{当}l=j,\\ 0,&\text{当}l\neq j; \end{cases} \end{aligned}$

Vandermonde行列式

$n$级范德蒙德行列式

$d= \begin{vmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\ a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod_{1\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j),\ \ n\geqslant2.$

性质

$\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1k}&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}&0&\cdots&0\\ c_{11}&\cdots&c_{1k}&b_{11}&\cdots&b_{1k}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{r1}&\cdots&c_{rk}&b_{r1}&\cdots&b_{rr} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b_{11}&\cdots&b_{1r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ b_{r1}&\cdots&b_{rr} \end{vmatrix}.$

行列式的乘法定理

两个$n$级行列式的乘积等于一个$n$级行列式$C$，其中$c_{ij}$为$D_1$的第$i$行元素分别与$D_2$的第$j$列的对应元素乘积之和。

上面的结论可以类比矩阵的乘法得到。