反常积分总结

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前言

总结反常积分的定义、判别法与简单计算。

反常积分

通过变限积分的极限来定义反常积分，包括无穷积分和瑕积分。

无穷积分

定义

设函数$f$定义在无穷区间$[a,\,+\infty)$上，且在任何有限区间$[a,\,u]$上可积。如果存在极限
$\lim_{u\to+\infty}\int_a^uf(x)\mathrm{d}x=J,$
则称此极限$J$为函数$f$在$[a,\,+\infty)$上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
$J=\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x,$
并称$\int_a^uf(x)\mathrm{d}x$收敛。若极限不存在，亦称发散。

对于$f$在$(-\infty,\,+\infty)$上的无穷积分，可以作如下定义
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^af(x)\mathrm{d}x+\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x,\tag{1}$
其中$a$为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛，它才收敛。

几点注意

• 无穷积分$(1)$的收敛性与收敛时候的值，都和实数$a$的选取无关；
• $f$在任何有限区间$[v,\,u]\subset(-\infty,\,+\infty)$上，首先必须是可积的。

性质&判别法

• 无穷积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛$\,\iff\,\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,G\geqslant a$, 只要$u_1,\,u_2>G$, 便有
  $\left|\int_a^{u_2}f(x)\mathrm{d}x-\int_a^{u_1}f(x)\mathrm{d}x\right|=\left|\int_{u_1}^{u_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon.$
• 若$f$在任何有限区间$[a,\,u]$上可积，$a<b$，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$与$\int_b^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$同敛态，且有
  $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\int_b^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x,$
  其中等号右边第一项为定积分(正常积分)。
• 无穷积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛$\,\iff\,\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,G\geqslant a$, 当$u>G$时, 有
  $\left|\int_u^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon.$
• 若$f$在任何有限区间$[a,\,u]$上可积，且有$\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm{d}x$收敛，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$亦收敛，并有
  $\left|\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x\right|\leqslant \int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm{d}x.$
  当$\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm{d}x$收敛，称$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$为绝对收敛。
  此性质表明绝对收敛的无穷积分自身也一定收敛。
  收敛而不绝对收敛：条件收敛。
• 比较原则：大函数的无穷积分收敛则小函数的无穷积分收敛(小发散则大发散)。
• 柯西判别法：设函数$f$定义于$[a,\,+\infty)$且在任何有限区间$[a,\,u]$上可积，则有
  则有

• 当$0\leqslant f(x)\leqslant\frac1{x^p},\,x\in[a,\,+\infty)$，且$p>1$时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛；
• 当$f(x)\geqslant\frac1{x^p},\,x\in[a,\,+\infty)$，且$p\leqslant1$时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散；

• 狄利克雷判别法：
  若$F(u)=\int_a^{u}f(x)\mathrm{d}x$在$[a,\,+\infty)$上有界，$g(x)$在$[a,\,+\infty)$上当$x\to+\infty$时单调趋于$0$，则$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。(有界+单调趋于0=>收敛)
• 阿贝尔判别法：
  若$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，$g(x)$在$[a,\,+\infty)$上单调有界，则$\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛。(收敛+单调有界=>收敛)

瑕积分

定义

设函数$f$定义在$(a,\,b]$上，在点$a$的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间$[u,\,b]\subset(a,\,b]$上有界且可积。如果存在极限
$\lim_{u\to a^+}\int_u^bf(x)\mathrm{d}x=J,$
则称此极限为无界函数$f$在$(a,\,b]$上的反常积分，并记为
$J=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x,$
并称反常积分$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$收敛，如果极限不存在，发散。

• 被积函数$f$在点$a$近旁是无界的，点$a$称为$f$的瑕点。

性质&判别法

• 瑕积分$\int_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$(瑕点为$a$)收敛$\,\iff\,\forall\,\varepsilon>0,\,\exists\,\delta>0$, 只要 $u_1,\,u_2\in(a,\,a+\delta)$, 总有
  $\left|\int_{u_1}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\int_{u_2}^{b}f(x)\mathrm{d}x\right|=\left|\int_{u_1}^{u_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon.$
• 柯西判别法：设$f$定义于$(a,\,b]$, $a$为其瑕点，且在任何$[u,\,b]\subset(a,\,b]$上可积，则有：

• 当$0\leqslant f(x)\leqslant\frac1{(x-a)^p},\,x\in[a,\,+\infty)$，且$0<p<1$时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛；
• 当$f(x)\geqslant\frac1{(x-a)^p},\,x\in[a,\,+\infty)$，且$p\geqslant1$时，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散；

其余性质与无穷积分类似，只需将上限替换为$b$。