（组合数学笔记）格点路径问题分析&求解

写在前面

分析求解一道组合数学的经典问题——格点路径问题，以及其母函数形式导出。

例题

设$m,\,n\in\mathbb{Z}$，$a_{m,\,n}$是从格点$(0,\,0)$到格点$(m,\,n)$的路径数，但要求路径中的每一步只允许以下三种走法：

• $R\,:\,(x,\,y)\to(x+1,\,y)$
• $U\,:\,(x,\,y)\to(x,\,y+1)$
• $D^+\,:\,(x,\,y)\to(x+1,\,y+1)$

试求序列$\{a_{m,\,n}\}_{m,\,n\geqslant0}$的普通型母函数$F(x,\,y)$.

分析及求解

不妨设$m\geqslant n$，则从格点$(0,\,0)$到格点$(m,\,n)$的路径数为三元集$S=\{U,\,R,\,D^+\}$的重排列。

下面进行分类计数。

将路径以含有$k$个$U$步(向上步)分类，则必有$n-k$ 个$D^+$步，$m-(n-k)$个$R$步，即重集
$\big\{k\cdot U,\,(n-k)\cdot R,\,(m-n+k)\cdot D^+\big\}$
的全排列数，所以直接得
$a_{m,\,n}=\sum_{k=0}^n\binom{m+k}{k,\,n-k,\,m-n+k}=\sum_{k=0}^n\binom{m+k}{m}\binom{m}{n-k},$
于是序列$\{a_{m,\,n}\}_{m,\,n\geqslant0}$的普通型母函数$F(x,\,y)$为
$\begin{aligned} F(x,\,y) &=\sum_{m\geqslant 0}\sum_{n\geqslant 0}a_{m,\,n}x^my^n\\ &=\sum_{m\geqslant 0}\sum_{n\geqslant 0}\sum_{k=0}^{n}\binom{m+k}{m}\binom{m}{n-k}x^my^n\\ &=\sum_{m\geqslant 0}\sum_{k\geqslant 0}\binom{m+k}{m}\Bigg[\sum_{n\geqslant k}\binom{m}{n-k}y^n\Bigg]x^m\\ &=\sum_{m\geqslant 0}\sum_{k\geqslant 0}\binom{m+k}{m}\Bigg[\sum_{n\geqslant k}\binom{m}{n-k}y^{n-k}\Bigg]x^my^k\\ &=\sum_{m\geqslant 0}x^m(1+y)^m\Bigg[\sum_{k\geqslant 0}\binom{m+k}{k}y^k\Bigg]\\ &=\sum_{m\geqslant 0}x^m(1+y)^m\Bigg[\sum_{k\geqslant 0}\frac{(m+k)(m+k-1)\cdots(m+1)}{k!}y^k\Bigg]\\ &=\sum_{m\geqslant 0}x^m(1+y)^m\Bigg[\sum_{k\geqslant 0}\frac{(-m-k)(-m-k+1)\cdots(-m-1)}{k!}(-y)^k\Bigg]\\ &=\sum_{m\geqslant 0}x^m(1+y)^m(1-y)^{-m-1}\\ &=\frac{1}{1-y}\sum_{m\geqslant 0}\bigg(\frac{x+xy}{1-y}\bigg)^m\\ &=\frac1{1-y}\cdot\frac1{1-\frac{x+xy}{1-y}}\\ &=\frac1{1-y-x-xy} \end{aligned}$

主要方法

上面的推导过程主要利用求和换序（需要注意变量的依赖关系）、广义牛顿二项式定理，由此即得结论。

广义牛顿二项式定理

$(x+y)^\alpha=\sum_{k=0}^{\infty} {\binom{\alpha}{k}x^{\alpha-k}y^{k}},$

其中
$\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-k+1)}{k !}=\frac{(\alpha)_{k}}{k !},$
这里$\alpha\in\mathbb{R}$.