阳辉三角

适用于范围比较小的数，复杂度是\(O(n^2)\)
用到公式\(dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1])%mod\)

ll hoppy,lad;
ll equip[2021][2021];
void search(){
  equip[0][0]=1;  
  for(int i=1;i<=2000;i++){
    equip[i][0]=1;
    for(int j=1;j<=i;j++){
      equip[i][j]=(equip[i-1][j]+equip[i-1][j-1])%mod;
    }
  }
}
void solve()
{
  cin>>hoppy>>lad;
  cout<<equip[hoppy][lad]<<endl;
  
}

逆元来求组合数

复杂度是O(NlogN)的.原理是:



\[C_n^m=n!/(m!(n-m)!) \]


那么我们就可以用逆元来表示\(1/m!\) 和\(1/(n-m)!\)这样就将除法转化成了乘法.

ll hoppy,lad;
ll equip[maxn],frown[maxn];

ll qpow(ll hoppy1,ll lad1){
  ll ans=1;
  while(lad1){
    if(lad1&1) ans=ans*hoppy1%mod;
    lad1>>=1;
    hoppy1=hoppy1*hoppy1%mod;
  }
  return ans;
}
void search(){  
  equip[0]=1;
  frown[0]=1;
  for(int i=1;i<=1e5;i++){
    equip[i]=equip[i-1]*i%mod;
    frown[i]=frown[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
  }
}
ll C(ll hoppy,ll lad){
  return equip[hoppy]*frown[lad]%mod*frown[hoppy-lad]%mod;
}
void solve()
{
  cin>>hoppy>>lad;
  cout<<C(hoppy,lad)<<endl;
}

Lucas定理求组合数

先说下Lucas定理:\(C_n^m\ mod\ p=C_{n\%p}^{m\%p}C_{n/p}^{m/p}\)
推到过程是利用了多项式,



\[n=n_0p^0+n_1p^1+n_2p^2+.....+n_xp^x \]


\[m=m_0p^0+m_1p^1+m_2p^2+.....+m_xp^x \] 


ll qpow(ll hoppy1,ll lad1,ll mod){
  ll ans=1;
  while(lad1){
    if(lad1&1) ans=ans*hoppy1%mod;
    lad1>>=1;
    hoppy1=hoppy1*hoppy1%mod;
  }
  return ans;
}

ll C(ll hoppy,ll lad,ll mod){
  ll a=1,b=1;
  for(int i=1;i<=lad;i++){
    a=a*(hoppy-i+1)%mod;
    b=b*i%mod;
  }
  return a*qpow(b,mod-2,mod)%mod;
}
ll lucas(ll a,ll b){
  if(a<p&&b<p) return C(a,b,p);
  return C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}
void solve()
{
  cin>>hoppy>>lad>>p;
  
  cout<<lucas(hoppy,lad)<<endl;
  
}