向量组的秩

前置定理 1　设向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性无关，而向量组 $B:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m,\boldsymbol{b}$ 线性相关，则向量 $\boldsymbol{b}$ 必能由向量组 $A$

证明见 “​​向量组的线性相关性​​”。

前置定理 ２　设向量组 $B:\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l$ 能由向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性表示，则 $R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \le R(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$。

证明见 “​​【定义】向量与向量组​​”。

前置定理 3　向量组 $A:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m$ 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$ 的秩小于向量个数 $m$；向量组 $A$ 线性无关的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = m$。

证明见 “​​向量组的线性相关性​​”。

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定义 1　设有向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r$，满足

• 向量组 $A_0:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r$
• 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$

那么称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个 最大线性无关向量组（简称 最大无关组），那么最大无关组所含向量个数 $r$ 称为 向量组 $A$，记作 $R_A$。

只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为 $0$。

关于向量组与其最大无关组的关系，有定理和证明如下：

定理 1　向量组 $A$ 和它的最大无关组 $A_0$

证明　记向量组 $A_0:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r$。

$A_0$ 组是 $A$ 组的一个部分组，因为 $A$ 中的每个向量都能由 $A$ 组表示，所以 $A_0$ 组总能由 $A$

根据定义 1 可知，对于向量组 $A$ 中的任一向量 $\boldsymbol{a}$，$r+1$ 个向量 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{a}$ 线性相关，而 $r$ 个向量 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r$ 线性无关。根据前置定理 1，可知 $\boldsymbol{a}$ 能由 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r$ 线性表示，即 $A$ 组能由 $A_0$

定理 1 的逆命题也是成立的，即能与向量组自身等价的线性无关部分组一定是最大无关组，于是有定理和证明如下：

定理 2（最大无关组的等价定义）　设向量组 $A_0:\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r$ 是向量组 $A$

• 向量组 $A_0$
• 向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 $A_0$

那么向量组 $A_0$ 便是向量组 $A$

证明　根据定义 1，要证明向量组 $A_0$ 便是向量组 $A$ 的一个最大无关组，只需要证明向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量线性相关即可。设 $\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_{r+1}$ 是 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量，因为向量组 $A$ 的任一向量都能由向量组 $A_0$ 线性表示，所以这 $r+1$ 个向量均能由向量组 $A_0$ 线性表示，从而根据前置定理 2，有
$R(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_{r+1}) \le R(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_r) = r$
根据前置定理 3，可知 $r+1$ 个向量 $\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_{r+1}$

对比向量组的秩的定义和矩阵的秩的定义，有定理和证明如下：

定理 3　矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。

证明　设 $\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_m)$，$R(\boldsymbol{A})=r$，并设 $r$ 阶子式 $D_r \ne 0$。因为 $D_r \ne 0$，所以 $D_r$ 所在的 $r$ 列构成的 $n \times r$ 矩阵的秩为 $r$，根据前置定理 3 可知，此 $r$ 列线性无关。又因为 $\boldsymbol{A}$ 中所有 $r+1$ 阶子式均为零，所以 $\boldsymbol{A}$ 中任意 $r+1$ 个列向量构成的 $n \times (r+1)$ 矩阵的秩 $<r+1$，从而此 $r+1$ 列线性相关。因此 $D_r$ 所在的 $r$ 列是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组的一个最大无关组，所以列向量的秩等于 $r$。

类似地，可以证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行向量组的秩也等于 $R(\boldsymbol{A})$。