【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

前置知识：

• 【定义】矩阵

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定义 1（初等行变换）　下面三种变换称为矩阵的行初等变换：

• 对换两行（对换 $i,j$ 两行，记作 $r_i \leftrightarrow r_j$）；
• 以数 $k \ne 0$ 乘某一行中的所有元（第 $i$ 行乘 $k$，记作 $r_i \times k$）
• 把某一行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_i + k r_j$。

定义 2（初等列变换）　将定义 1 中的 “行” 换成 “列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把 “$r$” 换成 “$c$”）

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

显然，三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换；变换 $r_i \leftrightarrow r_j$ 的逆变换就是其本身；变换 $r_i \times k$ 的逆变换为 $r_i \times \frac{1}{k}$（或记作 $r_i \div k$）；变换 $r_i + k r_j$ 的逆变换为 $r_i + (-k)r_j$（或记作 $r_i - k r_j$）。

定义 3（矩阵等价）　如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$，就称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 行等价，记作 $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$；如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$，就称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 列等价，记作 $\boldsymbol{A} \stackrel{c}{\sim} \boldsymbol{B}$；如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$，就称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，记作 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$。

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

• 反身性：$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{A}$；
• 对称性：若$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则$\boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{A}$；
• 传递性：若$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，$\boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{C}$，则$\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}$。