【模板】矩阵求逆（矩阵初等变换）

$O(n^5)$ 做法：

• 先求出$A$的伴随矩阵$A^{*}$，后利用$A*A^{*}=|A|*E\Rightarrow A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}$求解
  需要求$O(n^2)$次行列式

$O(n^4)$ 做法：

• 对每一行来一波高斯消元

$O(n^3)$ 做法：
首先介绍矩阵的初等变换（以下为初等行变换）：

1. 交换两行，记做$r_i\leftrightarrow r_j$
2. 将一行的所有元乘上数$k\neq 0$
3. 将一行的所有元的$k\neq 0$倍加到另一行上

• 若$A$能通过若干次初等行变换变为$B$，则称$A$与$B$行等价，$A\sim B$（等价符号上有一个字母$r$，没打出来，一下均用$\sim$表示行等价）
• 定理：设$A,B$为$m\times n$矩阵，$A\sim B$的充分必要条件是存在$m$阶可逆矩阵$P$使得$PA=B$

引入：初等矩阵： 把单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
性质1：设 $A$ 为 $m\times n$矩阵，对 $A$ 进行一次初等行变换相当于在 $A$ 的左边乘上对应的 $m$ 阶初等矩阵
性质2：方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 $P_1,P_2,...,P_l$ 使 $A=P_1P_2...P_l$
充分性：因为初等矩阵均可逆，所以有限个初等矩阵的乘积仍可逆，故 $A$ 可逆。
必要性：设 $A$ 可逆，它经过有限次初等行变换变为行最简矩阵 $B$，那么存在初等矩阵 $Q_1,Q_2,...,Q_l$ 使 $Q_1Q_2...Q_lA=B$，因为 $A,Q_i$ 均可逆，故 $B$ 可逆，故 $|B|\neq 0,B=E$
此时 $A=Q_1^{-1}Q_2^{-1}...Q_l^{-1}B=Q_1^{-1}Q_2^{-1}...Q_l^{-1}=P_1...P_l$，此时 $P_i=Q_i^{-1}$为初等矩阵

• 定理证明：$A\sim B \Leftrightarrow$ 存在有限个矩阵 $P_1,P_2,...,P_l$ 使 $P_l...P_2P_1A=B \Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $P$使 $PA=B$
• 推论：方阵$A$ 可逆的充分必要条件是 $A\sim E$
  证明：$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $P$，使 $PA=E\Leftrightarrow A\sim E$
• 本题解法：现在知道$A$，求 $P$ 使 $PA=E$
  同时我们有 $PE=E$，那么我们有 $P(A,E)=(E,P)$，于是我们对矩阵 $(A,E)$ 做初等行变换，当 $A$ 变为 $E$ 时，$E$ 就变成了 $P$，无解情况用推论判断即可，复杂度 $O(n^3)$，非常好写

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
  while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
cs int Mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
int mul(int a, int b){ ll r=(ll)a*b; return r>=Mod?r%Mod:r; }
int ksm(int a, int b){ int as=1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) as=mul(as,a); return as; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
void Mul(int &a, int b){ a = mul(a, b); }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
cs int N = 405, M = N + N;
#define poly vector<int>
int n; poly a[N];
poly operator - (poly a, poly b){
  for(int i=1; i<=n+n; i++) Dec(a[i],b[i]); return a;
}
poly operator * (poly a, int coe){
  for(int i=1; i<=n+n; i++) Mul(a[i],coe); return a;
}
int main(){
  n = read();
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    a[i].resize(n+n+1);
    for(int j = 1; j <= n; j++)  a[i][j] = read();
  }
  for(int i = 1; i <= n; i++) a[i][i+n] = 1;
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    int k = i; 
    for(int j = i+1; j <= n; j++) if(a[j][i]){ k = j; break; }
    if(i ^ k) swap(a[i], a[k]);
    int iv = ksm(a[i][i], Mod-2);
    for(int j = i+1; j <= n; j++){
      int coe = mul(iv, a[j][i]);
      a[j] = a[j] - a[i] * coe;
    } 
  }
  for(int i = n; i >= 1; i--){
    if(a[i][i] == 0){ puts("No Solution"); return 0; }
    for(int j = i+1; j <= n; j++) if(a[i][j]) a[i] = a[i] - a[j] * a[i][j];
    int iv = ksm(a[i][i],Mod-2); a[i] = a[i] * iv;
  } 
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    for(int j = n+1; j <= n+n; j++) cout << a[i][j] << " ";
    puts("");
  } return 0;
}