作者:长行
时间:2019.03.11
统计学解释
峰度:峰度是衡量一组数据分布曲线的陡峭程度。其定义式如下:
k
u
r
t
o
s
i
s
=
E
[
(
X
−
μ
σ
)
4
]
=
μ
4
σ
4
=
E
[
(
X
−
μ
)
4
]
(
E
[
(
X
−
μ
)
2
]
)
2
kurtosis=E[(\frac{X-\mu}{\sigma})^4]=\frac{\mu_4}{\sigma^4}=\frac{E[(X-\mu)^4]}{(E[(X-\mu)^2])^2}
kurtosis=E[(σX−μ)4]=σ4μ4=(E[(X−μ)2])2E[(X−μ)4]
其中
μ
\mu
μ为均值,
σ
\sigma
σ为标准差,
μ
4
\mu_4
μ4为四阶中心距。
但是通常而言,我们不会用定义式来计算峰度,而是使用其他的计算公式,例如如下的峰度计算公式(应用于SPSS):
k
u
r
t
o
s
i
s
=
(
n
+
1
)
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
‾
)
4
(
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
‾
)
2
)
2
−
3
(
n
−
1
)
2
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
kurtosis=\frac{(n+1)n(n-1)}{(n-2)(n-3)}\frac{\sum^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})^4}}{(\sum^{n}_{i=1}{(x_i-\overline{x})^2})^2}-3\frac{(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}
kurtosis=(n−2)(n−3)(n+1)n(n−1)(∑i=1n(xi−x)2)2∑i=1n(xi−x)4−3(n−2)(n−3)(n−1)2
其中
x
i
x_i
xi样本均值。
若峰度大于0,则说明该组数据的分布曲线相较于正态分布更加陡峭;若峰度小于0,则说明该组数据的分布曲线相较于正态分布更加平缓。换言之,峰度越大,则数据在靠近均值的部分分布得越多,在距离均值较远的部分分布得较少。
下面我们通过几个例子来熟悉峰度的分布特征:
例1:当靠近均值部分的数据分布得越多时,峰度越高
数据 [1,1,1,1,1,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5] 的峰度为 -2.098
数据 [1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5] 的峰度为 -1.328
数据 [1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,5] 的峰度为 3.554
例2:当远离均值的数据分布得越分散时,峰度越高
数组 [1,4,5,6,9] 的峰度为 0.893
数组 [3,4,5,6,7] 的峰度为 -1.200
实现代码
import math
import numpy
data_test=[1,1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5] # # 定义测试数据
def peakedness(data):
n = len(data) #样本个数
average=numpy.mean(data) #计算平均值
k1=n*(n+1)*(n-1)/(n-2)/(n-3)
k2=3*(n-1)**2/(n-2)/(n-3)
m2=0;
m4=0
for i in data:
m4+=(i-average)**4
m2+=(i-average)**2
peakedness=k1*m4/m2**2-k2
return peakedness
print('peakedness =',peakedness(data_test))
结果
peakedness = -0.5076923076923086
实际应用
1.峰度可以用来衡量风险,同样的方差下,峰度越高,越容易取极端值。例如某一金融产品收益率的峰度很高,那么该金融产品的风险系数就会较大。
2.峰度可以帮助用来衡量众数的统计学意义。峰度越高,众数在描述该组数据的集中趋势的作用就越显著。