1 基本概念和术语
（ 1 ） 网络
G 是一个简单有向图， G=(V,E) ， V={1 ， 2 ， … ， n} 。在 V 中指定一个顶点 s ，称为源 和另一个顶点 t ，称为汇 。有向图 G 的每一条边 (v,w) ∈ E ，对应有一个值 cap(v,w)≥0 ，称为边的容量 。这样的有向图 G 称作一个网络 。
（ 2 ） 网络流
网络上的流 是定义在网络的边集合 E 上的一个非负函数 flow={flow(v,w)} ，并称 flow(v,w) 为边 (v,w) 上的流量 。
（ 3 ） 可行流
满足下述条件的流 flow 称为可行流 ：
① 容量约束 ： 对每一条边 (v,w) ∈ E ， 0≤flow(v,w)≤cap(v,w) 。
② 平衡约束 ：
对于中间顶点：流出量 = 流入量。
即对每个 v ∈ V(v≠s,t) 有：顶点 v 的流出量－顶点 v 的流入量 =0 ，即
对于源 s ： s 的流出量－ s 的流入量 = 源的净输出量 f ，即
对于汇 t ： t 的流入量－ t 的流出量的 = 汇的净输入量 f ，即
式中 f 称为这个可行流的流量，即源的净输出量 ( 或汇的净输入量 ) 。可行流总是存在的。
例如，让所有边的流量 flow(v,w)=0 ，就得到一个其流量 f=0 的可行流 ( 称为 0 流 )。
（ 4 ） 边流
对于网络 G 的一个给定的可行流 flow ，将网络中满足 flow(v,w)=cap(v,w) 的边称为饱和边 ； flow(v,w)<cap(v,w) 的边称为非饱和边 ； flow(v,w)=0 的边称为零流边 ； flow(v,w)>0 的边称为非零流边 。当边 (v,w) 既不是一条零流边也不是一条饱和边时，称为弱流边 。
（ 5 ） 最大流
最大流问题即求网络G 的一个可行流 flow ，使其流量 f 达到最大。即 flow 满足：0≤flow(v,w)≤cap(v,w) ， (v,w) ∈ E；且
（ 6 ） 流的费用
实际应用中，与网络流有关的问题，不仅涉及流量，而且还有费用的因素。此时网络的每一条边(v,w) 除了给定容量 cap(v,w) 外，还定义了一个单位流量费用 cost(v,w) 。对于网络中一个给定的流 flow，其费用定义为：
（ 7 ） 残流网络
对于给定的一个流网络 G 及其上的一个流 flow ，网络 G 关于流 flow 的残流网络 G* 与 G 有相同的顶点集 V ，而网络 G 中的每一条边对应于 G* 中的 1 条边或 2 条边。
设 (v,w) 是 G 的一条边。
当 flow(v,w)>0 时，（ w,v ）是 G* 中的一条边，该边的容量为 cap*(w,v)=flow(v,w) ；
当 flow(v,w)<cap(v,w) 时， (v,w) 是 G* 中的一条边，该边的容量为cap*(v,w)=cap(v,w)-flow(v,w) 。
按照残流网络的定义，当原网络 G 中的边 (v,w) 是一条零流边时，残流网络 G* 中有唯一的一条边 (v,w) 与之对应，且该边的容量为 cap(v,w) 。
当原网络 G 中的边 (v,w) 是一条饱和边时，残流网络 G* 中有唯一的一条边 (w,v) 与之对应，且该边的容量为 cap(v,w) 。
当原网络 G 中的边 (v,w) 是一条弱流边时，残流网络 G* 中有 2 条边 (v,w) 和 (w,v) 与之对应，这 2 条边的容量分别为 cap(v,w) -flow(v,w) 和 flow(v,w) 。
残流网络是设计与网络流有关算法的重要工具。
增广路算法
1 算法基本思想
设P是网络G中联结源s和汇t的一条路。定义路的方向是从s到t。将路P上的边分成2类：一类边的方向与路的方向一致，称为向前边 。向前边的全体记为P+。另一类边的方向与路的方向相反，称为向后边 。向后边的全体记为P-。
设flow是一个可行流，P是从s到t的一条路，若P满足下列条件：
（1）在P的所有向前边(v,w)上，flow(v,w)<cap(v,w)，即P+中的每一条边都是非饱和边；
（2）在P的所有向后边(v,w)上，flow(v,w)>0，即P-中的每一条边都是非零流边。
则称P为关于可行流flow的一条可增广路 。
可增广路是残流网络中一条容量大于0的路。
将具有上述特征的路P称为可增广路是因为可以通过修正路P上所有边流量flow(v,w)将当前可行流改进成一个流值更大的可行流。
增流的具体做法是：
（1）不属于可增广路P的边(v,w)上的流量保持不变；
（2）可增广路P上的所有边(v,w)上的流量按下述规则变化：
· 在向前边(v,w)上，flow(v,w)+d；
· 在向后边(v,w)上，flow(v,w)-d。
按下面的公式修改当前的流。
其中d称为可增广量，可按下述原则确定：d取得尽量大，又要使变化后的流仍为可行流。按照这个原则，d既不能超过每条向前边(v,w)的cap(v,w)-flow(v,w)，也不能超过每条向后边(v,w)的flow(v,w)。因此d应该等于向前边上的cap(v,w)-flow(v,w)与向后边上的flow(v,w)的最小值。也就是残流网络中P的最大容量。
增广路定理 ：设flow是网络G的一个可行流，如果不存在从s到t关于flow的可增广路P，则flow是G的一个最大流。
